论文总字数：22787字
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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{股票配对交易策略}}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\kaishu\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要}
{\kaishu{\quad
本文主要介绍股票配对交易策略（\emph{Pairs Trading Rule}）。随着经济的飞速发展，我国的金融市场也迅速发展。中国股票市场在十多年的发展后愈发成熟。越来越多的投资策略应运而生。其中配对交易策略是一种良好的市场中性策略。我们运用配对交易策略通过两支股票的价差来盈利。通过选取两支具有历史相关性的股票进行观测，当两支股票的价格差异较大时，我们卖出一时表现较为优异的股票，同时买入表现较差的股票。因为历史相关性，所以策略坚信这两支股票的价格差异会再次缩小，从而实现套利。我们通过均值回归模型来把控价格差异，并用HJB 方程来表示价值函数，之后通过Matlab 软件来进行数值模拟，估计模型参数，并选用具体股票进行配对，并用其数据进行实证研究，验证该策略的有效性，并通过改变模型参数来探究影响策略的因素。
}}
\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ \ 股票配对交易,\ 均值回归模型,\ HJB 方程}
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\thispagestyle{plain}
\begin{center}{\heiti \large Pairs-trading rule for stocks trading}\end{center}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
This paper mainly introduces the stock pairing trading strategy. By observing two historically correlated stocks, the strategy shorts the outstanding stocks and longs the unsatisfying ones when the price gap between them increases. Because the two stocks are historically correlated, the strategy believes that their price gap will narrow again, thus making profits. In this strategy, the price difference is controlled by mean-reverting model and the value function is expressed by HJB equation. After that, we use Matlab to carry out numerical simulation, to estimate model parameters. Finally the paper selects specific stock data for empirical research to test the effectiveness of the strategy.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ Pairs trading,\ Mean-reverting model,\ HJB equations}
\tableofcontents
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\mainmatter
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%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第一章 \qquad 引言}
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% \underline{\underline{\hspace{1cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~设~计~报~ 告}\hspace{7cm}{\songti
% 第一章 \qquad 引言 }\hspace{1.5cm}}}}}
\chapter{引言 }
\s0 \vskip 3mm
本论文结构如下：
第二章主要介绍股票配对交易的理论体系及最优解的算法。
第三章主要介绍均值回归模型的参数估计方法。
第四章进行实证探究，通过选取一对具体的股票来验证策略的有效性。
第五章给出文章中所用的\textrm{MATLAB}程序代码。
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%东~南~大~学~毕~业~设~计~报~告}\hspace{0.5cm}{\bf 第二章 \qquad 阈值$u$ 确定方法的讨论}\hspace{2.5cm}}}}}{\protect \scriptsize{
% \underline{\underline{\hspace{0.5cm}{\bf 东~南~大~学~毕~业~设~计~报~ 告}\hspace{4cm}{\songti
%第二章 \qquad 阈值$u$确定方法的讨论 }\hspace{2cm}}}}}
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\chapter{股票配对最优交易理论}
\s0
本章主要讨论股票配对最优交易的理论模型并给出了最优解的解法。首先定性介绍了配对交易的操作过程。之后介绍配对交易模型的公式，然后介绍价值函数的表现形式及其解法，最后介绍充分条件来保证交易规则的最优解。
\section{简介}
伴随着经济的飞速发展，我国的金融市场也迅速发展。中国股票市场在十多年的发展后愈发成熟，越来越多的投资者进入中国股市进行投资。现在主流的股票投资方法也随着市场发展不断变化且越发多样。投资者们对股票的高度热情促使广大学者积极探索更好的投资方法。由于发达国家有更成熟的股票市场，国外研究人员也对股票投资方法进行了深入的研究，其中Nunzio Tartaglia成立的一个数量分析团队提出的一种市场中性投资策略，即配对交易策略，引起广大投资者的注意。配对交易策略尽管相对简单，但具有市场中性，收益波动性相对较小，收益相对稳定等优点。众多国内学者的研究结果也表明，配对交易策略在中国市场上同样适用，因此我们可以借鉴此方法，应用于国内股票市场，从而获得更大的利润。我们利用严格的交易规则可以有效的控制投资者的个人非理性情绪，从而规避风险，持续不断的产生有效利润。所以，研究配对交易策略的具体方法，并获得最优的交易时机和价格，愈发成为一个值得研究的热点问题。\par
股票配对交易策略主要是通过两支具有相关性股票的价差来盈利。由于两支股票具有相关性，所以长期来看，其股价价差相对而言比较稳定，但在短期内，其稳定性会因为投资者的不理性交易而被破坏，常见的如“追涨杀跌”心理，从而导致两支股票的价差扩大。这就出现了两支股票的价差长期来看稳定，但短期内会出现较大幅度波动的现象。配对交易就是在价差扩大时交易：同时建立多头和空头头寸，将相对高估的股票卖出，并对较低估的股票买入，此时我们等待价格差异缩小。当价格差异缩小后，将多头寸空头寸同时平仓，这样我们就能获利。我们可以看出股票配对交易类似对冲交易，他有个很大的优点就是市场中性的性质，即在几乎任何市场条件下，配对股票都可以使投资者获利。为实现这一目的，我们必须有效的确定进行配对交易的时机，需要研究两支股票价格差异多高时开始配对交易，并在何时结束配对交易，从而锁定收益。当然，我们还需规定最止损水平，如果我们的策略短时失效，产生大量亏损时，损失值低于止损水平时，我们也应结束配对交易从而避免更大的损失。\par
下面介绍配对交易的具体数学方法，我们认为配对股票的价格满足均值回归模型。通过运用动态规划方法，我们来确定关键阀值，确定最佳的交易时机。由于我们需要考虑极端情况下，配对交易造成大规模亏损时的止损问题，我们也应改造模型，将提前确定的止损水平加入模型中，使得造成较大亏损时直接停止全部交易。
\section{模型介绍}
配对交易中的一支配对股票是由一支股票的多头头寸和一支股票的空头头寸构成。目标是通过连续的买入和卖出这支配对股票来使收益最大化。在模型中，我们假设每次交易都会产生固定的费用，并用动态规划和HJB方程来表达价值函数。我们分别用$X_t^1,X^2_t$来分别表示具有相关性的这对股票$X^1,X^2$ 的价格。不妨设我们持有$X^1$的多头头寸和$X^2$ 的空头头寸。设$D_0$ 是一个正数，这支配对股票用1股$X^1$和$D_0$股$X^2$来表示。我们用$Q_t$来定义这对股票的价差，也就是这支配对股票的价值，所以股票的价值是:$$Q_t=X_t^1-D_0X_t^2$$\par
我们用$x_0, x_1, x_2$这三个阀值水平来判断最优停时，即交易时刻。通过解代数方程，得出这些关键的阀值水平。模型假定交易的两个区间为$I_1=[x_0, x_1],I_2=[M,x_2]$，其中M 是给定的止损水平，它们的关系为：$Mlt;x_0lt;x_1lt;x_2$。 在此模型中，配对股票在其价值$Q_t$的数值落在$I_1$时开始配对交易，并一直保持这种状态直到$Q_t$的数值落在$I_2$。 此外，我们仍需满足一定的条件来确保这样的配对交易可以获得最佳收益。\par
由于我们选取的这对股票具有历史相关性，所以我们可以假设$Q_t$是均值回归过程，由$$dQ_t=\theta(\mu-Q_t)dt \sigma dW_t,\nbs Q_0=x$$决定，其中$\sigma gt;0$是波动率，$\mu$ 是平衡水平，$\theta gt;0$表示回归速率，$W_t$ 则是标准布朗运动。我们记号$X^i,i=1,2$用来表示标的股票，对于$i=1,2,X_t^i$表示股票$X^i$ 的价格。我们用Q表示对应的配对股票的头寸，Q 的一股多头是指$X_1$ 的一股多头和$X_2$的$D_0$ 股空头的组合。类似的，$Q_t$表示t时刻该配对股票的价值。当然，$Q_t$也是可能取负值的。\par
由于在该模型中我们需要有提前规定的止损水平，因此我们应额外加上一个约束条件，即要求$Q_t \geq M$，这里M是提前给定的限制，它表示止损水平。在现实投资中，股票市场风云莫测，变化多端，常有不可预测的变数发生。对于这种情况，人们通常需要把损失限制在一个可以接受的范围内。为了避免重大损失，投资者需要及时平仓。\par
模型假设$\psi _M$ 表示在$(M, \infty)$ 中$Q_t$的停时,$\psi _M =inf\{t:Q_t\not\in(M, \infty)\}$。令$0\leq \psi_1^b \leq \psi_1^s \leq \psi_2^b \leq \psi_2^s \leq \psi_M$ 表示一列停时序列，模型要求投资者在$\psi_n^b$买入，在$\psi_n^s$ 卖出, n=1,2,...。在所有时刻，我们假设净头寸只能是长的（有一股Q）或平的（没有股票$X_1,X_2$ 的头寸），我们用i=0,1 表示开始时的净头寸。如果开始时净头寸是长的，则应在之后卖出Q，停时序列记为$\Gamma_1=(\psi _1^s,\psi _2^b,\psi _2^s,\psi _3^b,...)$，如果开始净头寸是平的，则开始投资后应购买Q的一支股票，相应的停时序列为$\Gamma _0=(\psi_1^b,\psi _1^s,\psi _2^b,\psi _2^s,...)$\par
我们令K$gt;$0记为关于配对股票Q的固定的买卖交易费用。开始时的状态记为$Q_0=x$,净头寸为i=0,1，决策序列为$\Gamma _0,\Gamma _1$，则相应的收益函数为：
$$J_i(x,\Gamma _i)=
\left\{
\begin{array}{l}
E\{\sum_{n=1}^\infty [e^{-\rho \psi_n^s}(Q_{\psi^s_n}-K)-e^{-\rho \psi_n^b}(Q_{\psi^b_n} K)]\\ \hspace{5cm} I_{\{\psi_n^blt;\psi_M\}}\} \hspace{1cm}~ i=0,\\
E\{e^{-\rho \psi_1^s}(Q_{\psi^s_1}-K) \sum_{n=2}^\infty [e^{-\rho \psi_n^s}(Q_{\psi^s_n}-K)-e^{-\rho\psi_n^b}(Q_{\psi^b_n} K)]\\ \hspace{5cm}I_{\{\psi_n^blt;\psi_M\}}\} \hspace{1cm} ~ i=1,
\end{array}
\right.
$$\par
其中$\rhogt;0$是一个给定的折现因子。\par
在本文中，给定随机变量$\xi_n$, $E\sum_{n=1}^\infty\delta_n$可以表示成
$$\limsup_{N\to \infty}E\sum^N_{n=1}\delta_n$$
对于收益函数$J_i$，我们必须在$Q_t$到达M之前买入。当$t=\psi_M(Q_t=M)$ 时,如果i=1 则我们只能卖出。对于i=0,1，我们令$\Phi_i(x)$表示开始状态为$Q_0=x$ 和净头寸为i=0,1的价值函数。即$$\Phi_i(x)=\sup_{\Gamma_i}J_i(x,\Gamma_i)$$\\
其中$\Phi_0(M)=0,\Phi_1(M)=M-K$是边界条件。\par
后面本文将给出价值函数的分类情况，并给出相关的HJB方程，并得出解决方程的必要的条件。\par
首先，我们可以记序列$\Gamma_0=(\psi_1^b,\psi_1^s,\psi_2^b,\psi_2^s,...)$ 看做在$\psi_1^b$ 买入与停时序列$\Gamma_1=(\psi_1^s,\psi_2^b,\psi_2^s,\psi_3^b,...)$ 的组合。因此，对于$xgt;M$,
$$
\Phi_0(x)\geq J_0(x,\Gamma_0)=J_1(x,\Gamma_1)-E(e^{-\rho \psi_1^b}(Q_{\psi^b_1} K)I_{\{\psi_1^blt;\psi_M\}})
$$
令$\psi_1^b=0$，并在$\Gamma_1$中选取使$J_1(x,\Gamma_1)$最大的值，可知$\Phi_0(x)\geq \Phi_1(x)-x-K$, 同理$\Phi_1(x)\geq \Phi_0(x) x-K$，我们易求得x=M 时取等号。\par
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