中心极限定理在生活中的应用

论文总字数：5685字

摘 要

本文总结了中心极限定理的常用形式和内容。它不仅是对概率论的一个理论总结，而且也是对数理统计部分的一个解释。中心极限定理在实际生活中应用非常广泛。本文讨论了中心极限定理在经济管理，统计分析和药品测试三个方面的应用，解释了它与现实生活的联系。

关键词：中心极限定理，独立同分布，应用

Abstract: This paper sums up the common forms and contents of the central limit theorem . The central is not only a summary of probability theory, but also an explanation of mathematical statistics. The central limit theorem plays a key role in practical life. This paper mainly discusses some applications of the central limit theorem, such as economic management, statistical analysis and drugs testing, and we also explains the relationship with practical life.

Keywords：the central limit theorem, independent and identically distributed, application

目录

1 绪论……………………………………………………………………………4

2 中心极限定理…………………………………………………………………5

3 中心极限定理在生活中的应用………………………………………………7

3.1经济管理方面的应用………………………………………………………7

3.2统计分析方面的应用………………………………………………………9

3.3药品测试方面的应用………………………………………………………10

结论…………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………………14

1．绪论

概率论是研究随机现象的一门关于统计规律性的数学学科，它的应用很广泛，涉及领域广。相互独立的随机因素在实际生活中受到许多随机变量上的影响，然而每一个因素对这种综合影响起的作用也是不同的，那产生的随机变量一般情况下是服从或是近似服从正态分布。中心极限定理是数理统计和误差分析的理论基础，它指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。在不同领域中，我们也可以运用中心极限定理来解决生活中的一些实际问题。中心极限定理在逐渐的发展起来，就产生了普遍极限定理和局部极限定理。中心极限定理表示出当样本容量足够大的时候，得到的未知总体样本特征值也就近似服从正态分布^[1]。所以说中心极限定理既是概率论的重要内容也是数理统计的基石。例如,在研究一个车间的许多台机床的耗电量时,整个车间的耗电量等于各台机床耗电量的总和,而各台机床的工作状态及耗电量是相互独立的,因此车间的耗电量是一个独立和的问题。只要机床的台数足够大,则可用中心极限定理估计这个车间的耗电量,并且可以得到满意的效果。一个单位的电话网同时需要打外线的电话数等都可以表示成独立和的问题,所以独立和的问题是常见的,这种常见性就决定了正态分布成为首要的分布。中心极限定理还规划了正态分布的形成机制。如果某一个量的变化受到许多随机因素的影响,这种影响的总后果是各个因素的迭加,而且这些因素中没有一个是起主导作用的,那么这个量就是一个服从正态分布的随机变量,至少它可以近似地服从正态分布。

2.中心极限定理

定理1（林德贝格-勒维定理） 设是一独立同分布随机变量且存在。记，则对任意实数，有

它只假设独立同分布及方差存在，不管原来的分布是什么样的，极限分布同样都是正态分布，该定理一方面从理论上说明了正态分布的重要性，初步说明了为什么实际应用中会经常遇到正态分布；另一方面，它也提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法，这在应用中十分有效，只要和式中加项的个数充分多，就可以不必关心每一个随机变量原来是服从什么分布，都可以利用正态分布来逼近，因此，我们只要借助正态分布表，就可以进行近似计算。

例1 计算机在做加法时，对每个加数进行四舍五入取整误差是相互独立的，且它们都在内服从均匀分布。

（1）将1000个数相加，问误差总和的绝对值超过10的概率有多少？

（2）最多个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率为0.99？

解 设第个加数的取整误差为，由题设条件，诸个相互独立且服从上的均匀分布，即

（1）记，则由林德贝格-列维定理，有

（2）记，则由林德贝格-列维定理，有

由，得出，查表得知

定理2(棣莫佛-拉普拉斯定理） 设是重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为，则对任意实数，有

这是林德贝格-勒维定理应用到伯努利试验的情形。我们要注意的到，伯努利试验中成功的次数服从二项分布，棣莫佛-拉普拉斯定理最初就是以正态分布逼近二项分布的形式为人们认识的，它是概率中最早建立的重要成果之一。我们以前章节中曾给出过用泊松分布逼近二项分布的定理。一般来说，在较小的情况下用泊松分布近似比较有效，较大时用正态分布作近似计算。

例2 在中随机取数10000次，求数字8出现的次数不超过970次的概率。

解 设

,

则即

设

由棣莫佛-拉普拉斯定理，有

例3 某工厂装有500部电话分机，假定每个分机有4%的时间要用外线通话，且各个分机是否用外线是相互独立的，那求需要配备多少条外线才能有95%的把握保证各个分机要用外线时是不需要等待的？

解 设

,

则，即

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5685字