对竞赛数学中的一些不等式问题的探讨和分析

论文总字数：5204字

摘 要

数学竞赛中不等式的证明是较多的一个题型，对不等式的讨论与研究可以得到一些重要的结论.本文主要介绍了数学竞赛中的几种不等式的证明方法，具体包括：放缩法、数学归纳法、函数的凹凸性、利用基本不等式证明以及不等式中的代换思想.

关键词：数学竞赛，不等式，证明方法，不等式的推广,基本不等式

Abstract:The proof of inequality is a kind of question type often used in math contest. From the discuss and study of inequality, we can get some important conclusion. This thesis mainly introduces several ways of inequality proof used in math contest. They can be listed as the method of enlarging and reducing, mathematical induction, the concavity-convexity of function, the use of fundamental inequality and substitution of inequality.

Keywords: math contest, inequality, the method of proof, extension of function,fundamental inequality.

目录

1引言……………………………………………………………………4

2数学竞赛中的一些不等式的探讨与分析……………………………4

2.1用放缩法证明不等式………………………………………………4

2.2用数学归纳法证明不等式…………………………………………8

2.3不等式中的代换思想………………………………………………10

2.4利用函数的凹凸性证明不等式……………………………………14

2.5常用的一些基本不等式的运用……………………………………16

3结论……………………………………………………………………21

4参考文献………………………………………………………………22

1 引言

数学竞赛中不等式的证明是较多的一个题型，它的内容比较广泛，而且综合性强、灵活性高，难度较大.竞赛数学中的不等式具有一定的特点，比如不等式具有对称性，证明方法比较奇妙，而且有些不等式可以推广形成一定的结论命题.但不等式的证明没有固定的解题套路，不同类型的不等式的证明方法不同，而且有的不等式证明还需要多种方法一起使用，需要综合应用各种数学知识和多种思维方法.因此，不等式的证明过程是训练学生数学思维的好方式.

2 数学竞赛中的一些不等式的探讨与分析

2.1 用放缩法证明不等式

证明不等式时，我们可以根据不等式的传递性，改变分式不等式的分子（或分母），或者减去不等式的某项（根据需要也可以增加某一项），或者将不等式的某些项增大或变小，来放缩不等式.但是在用放缩法证明不等式时，一定要把握好放缩的尺度，否则在经过多次的放缩之后不等式会变的越来越难证明，而我们运用放缩法是希望通过一定的放缩使不等式变成容易证明的形式.

例1 设，求证

.

当且仅当中有两个为零，另一个为中的任意数，或者当不全为零且不为零的数都等于1时，取等号.

证明 因为，不妨设，则

.

说明 例题中的不等式的左边是关于的对称式，将不等式进行以下推广.

（1）可将本题推广到四个变量的情形

设，求证

.

证明 设 ，则

.

（2）可将本题推广到个变量的情形

设 ，记 ，则.

例2 已知 ， ，，，

求证

，

当且仅当时等号成立.

证明

，

即

，

从而可得到

.

（1）将本题推广到三个变量

已知，，， ，

求证

.

证明 运用上面类似的方法有

.

从而证得

.

（2）将本题推广到个变量

若 ， ， ，则

，

当且仅当，，时，等号成立.

注意到这里有

. （此结论见文献[1]）

2.2 用数学归纳法证明不等式

在数学竞赛中有许多与自然数有关的不等式，我们可采用数学归纳法来证明，但值得注意的是在运用数学归纳法时通常还会结合其它方法才能证明出不等式.

例3 设是互不相同的正整数，求证

.

证明 （1）当时，不等式左边右边.

（2）设当时不等式成立，那么当时，

不等式右边

.

因为

，

所以右边

左边.

由（1）（2）知，对一切,不等式都成立.

例4 已知，求证 .

证明（1）当时，，不等式成立.

（2）设当时，不等式成立，

那么当时，

,

即

成立.

综合（1）（2）可知对任意大于的自然数，不等式都成立.

2.3 不等式中的代换思想

我们在证明不等式时可对不等式的条件或结论作等价的变换，也可以对命题做等价变换，或者是其中某些元素做换元代换，将原命题经过数次等价变换，转换为我们所熟悉、易于证明的形式.

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