求级数前n项和的几种方法

论文总字数：5243字

摘 要

关键词：级数，求前项和方法，数项级数，函数项级数

Abstract：Mainly discussed and summarized several methods of sum of preceding terms.It can be divided into the method of Series of Number Terms to sum of preceding terms and sum of preceding terms of Series of Functions.Through the analysis of examples and solving,show common method of sum of preceding terms and ideas.

Keywords:series,summation method of preceding terms,Number Series,Function Series

目录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 利用四则运算求级数前项和………………………………………………4

2.1 首尾相加法…………………………………………………………………4

2.2 错位相减法…………………………………………………………………5

3 利用各项间的规律求级数前项和…………………………………………6

3.1 裂项消除法…………………………………………………………………6

3.2 分项求和法………………………………………………………………10

4 利用一般项求级数前项和…………………………………………………11

4.1 将一般项写成级数相邻项之差…………………………………………11

4.2 待定系数法………………………………………………………………12

5 利用已知级数求级数前项和……………………………………………12

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………17

1 引言

级数分为数项级数和函数项级数，为了求级数前项和，所以第一步我们要知道什么是级数，进一步知道级数的分类：数项级数和函数项级数.

给定一个数列，对它的各项依次用“ ”号连接起来的表达式

称为数项级数或无穷级数（也简称级数），其中称为数项级数的通项.上面的级数也常简写作或.

设是定义在数集上的一个函数列，表达式

称为定义在上的函数项级数，简记为或.

在对级数有一个基本的概念后，我们就可以考虑求它的前项和的方法。

级数的前项和称为级数的部分和，记作，即.

由于求函数项级数是的前项和与求数项级数的前项和基本类似，所以本文主要讨论数项级数前项和的求法.

对于一个级数，若能求得其前项和，则比较容易判断其敛散性.然而求一个级数的前项和往往并不那么容易，而且在许多教材中并没有专门的、系统性的级数求前项和的方法内容.本文将在大学期间所学数学的基础上结合例题分析给出几种求级数前项和的方法.

因为求级数前项和的方法非常多，技巧性也很强，一般很难掌握其规律，这也是学习的一个重点，所以学会一些级数求前项和的常用方法就显得尤为重要，虽然真正学会是一个缓慢的过程，但学会之后，我们做题就会方便很多，也会对后续的数学学习起到促进作用.

2 利用四则运算求级数前项和

2.1 首尾相加法^［1］

此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算,由于首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.

例题1 求级数……的前项和.

解

, ⑴

, ⑵

由得：

故

2.2错位相减法

“错位相减”的方法，这种方法在等差和等比的混合型级数中经常用到，先乘以公比然后与四则运算后称为等差或等比级数的原级数求和.

例题2 求

解

,

,

由得

例题3 求8 98 998 9…98 …的前项和.

分析 这是等比和等差相结合的题目.

解 因为

所以

例题4 求的前项和.^［2］

分析 等比与等差结合的题目，要先乘以，再错位相减，就可以变成最简单的等比级数.

解

.

,

,

所以

例5 求级数的前项和.

解

因为

, (3)

, (4)

(3)式减去(4)得

,

即

所以

.

3 利用各项间的规律求级数前项和

3.1 裂项消除法^［3］

如果收敛级数的通项可以分解成，那么它的部分和

，

利用裂项相消法求级数的前项部分和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的.

裂项一般形式：，此处.

裂项求和法在级数求和中是一种非常重要的方法，其关键是将级数的一般项分裂成部分分式的形式.以下用具体实例来说明.

例题6 ⑴计算

解

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