对无理数e的一些探讨

论文总字数：6216字

摘 要

关键词：值的计算， 值的应用，近似值

Abstract：In this paper，we were intended to give a brief discussion and exploration about number .The main contents include giving a brief introduction of number about its production and historical background ；then we focused on exploring some algorithmic methods of irrational number . Last we gave a brief introduction and finishing of number about its application in math problems.

Keywords: computational of -value ， application of -value ， approximation

目录

1 引言 4

2 无理数的简介 4

2.1 推动数产生的复利问题 4

2.2 符号的出现 4

3 无理数的几种计算方法 5

3.1 极限定义算法 5

3.2 极限算法 7

3.3 级数算法 8

3.4 连分数算法 9

3.5 连乘法 10

4 无理数在数学问题中的应用 11

4.1 在级数中的应用 11

4.2 求幂级数的和函数 12

4.3 用来证明不等式 13

4.4 在欧拉公式中的应用 14

结 论 15

参 考 文 献 15

致 谢 17

1 引言

在高等数学中，无理数是经常用到的一个无理数，而有关无理数的一些简单的计算与应用在高等数学中也有许多的介绍.由于无理数在很多学科中的应用都非常广泛，而对于无理数计算书本上又相对介绍较少，并且对无理数的探究对于高等数学中的许多问题的研究都是有利的，故本文欲展开对无理数的探究.本文从简单介绍其来源，重点探究无理数计算方法与近似值，并通过计算器计算近似值与精确值的误差来比较几种计算方法的优越性.最后整理归纳一些无理数在数学问题中的应用，这几方面探究无理数.

2 无理数的简介

2.1 推动数产生的复利问题

复利问题指的是在计息期之后，将所得的利息与本金的和作为下一个计息期的本金，来计算下期的利息.这样，每一个计息期后，上一个计息期的利息都将成为下期的本金，也就是以利生利，俗称“利滚利”.而本利和的多少又与计算周期有关，显然计算周期缩小，在相同时间里的本利和是在增大的.那么，复利随着计息时间间隔的无限缩小时，本利和会不会膨胀到无限大呢？在文献[^[1]]中有如下假设，设本金为以年利率来计算利息，一年计算利息次，总共计算年，则

那么当无限大时，应该趋于一个稳定值，但是这是从实际观察而来，而不是严密的数学结论，而在当时的十七世纪还没有极限概念，因此留下了一个问题：这个稳定值有是多少呢？

2.2 符号的出现

随着复利问题的产生，数学家对复利等问题的研究不断深入，数学家意识到此类问题都与一个极限值有关.而在1683年瑞士数学家 Nicolaus Bernoulli 提出此数值就是

当时的极限，但是Bernoulli只估计这个极限值在2与3之间.后来瑞士数学家Euler利用级数首次计算到小数点后23位，随后Euler定义

的极限为.至于欧拉为什么用字母来表示自然对数的底，有人认为来自他自己名字的首字母，也有人认为是第二个元音字母，因为Eluer在其著作中已经使用了第一个元音字母，无论如何命名，的首次公开出现是在1731年Euler写给Goldbach的一封信中.

3 无理数的几种计算方法

3.1 极限定义算法

由极限定义得，文献[^[2]]给出以下证明：

设由二项式定理得

，

故是严格递增的.由上式可推得

，

这表明又是有界的.由单调有界定理推知存在.

通常用拉丁字母代表该数列的极限，即

，

由该极限中的取值可以对取近似值如下表:

由表中可以看出当取值越大时，的值也不断增大，但是不会超过某值，由此取下去，可近似得无理数.

3.2 极限算法

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