Netwon-Raphson方法求解非线性方程组

论文总字数：4244字

摘 要

: 牛顿-拉弗森（Newton-Raphson）法也叫做牛顿迭代法,它是一种近似求解方程的方法,适用于复数域和实数域.作为数值分析中最重要的方法之一,它不仅适用于微分方程和积分方程的求解,而且适用于非线性方程组的求解.本文主要介绍了通过泰勒展开推导牛顿迭代公式的过程以及求解非线性方程组中的应用.

关键词: 牛顿迭代法,泰勒展开式,数值分析，非线性方程组

Abstract：Newton Raphson method,also called Newton iterative method,it is a approximate equation solving method.It can be used in the real domain and complex domain.As one of the most important numerical analysis method.It can not only be used in solving differential equations and integral equations,but also suitable for solving nonlinear equations.This paper mainly introduces the through Taylor expansion process of deducing the formula of Newton iteration and solving nonlinear equation group in the application.

Keywords：Newton"s method,Taylor expansion,Numerical analysis,Nonlinear equation group

目 录

1引言…………………………………………………………………………… 4

2预备知识……………………………………………………………………… 4

3 非线性方程组的牛顿迭代法 ……………………………………………… 6

4 数值分析……………………………………………………………………………… 9

结论 …………………………………………………………………………………… 11

参考文献……………………………………………………………………………………12

1 引言

数值计算中,最困难的问题之一是非线性方程组的求解.非线性方程组的求解由于没有指定的求解公式,因此,在实际操作中很难得到精确的解.

常见的求解非线性方程组的方法有：梯度法、共轭方向法、抛物线逼近法、迭代法等.在解决实际的数学问题中,要根据不同的条件灵活运用方法,不同的求解方法有着不同的优缺点.

梯度法作为求解方法中最古老的方法之一,可以任意选择初始点,并且每次迭代的计算量小,存储量也少,因此它的程序也较为简短.可以从一个随意的甚至不好的初始点出发,开始几步迭代后慢慢逼近局部的极小点,但它也有自己不足之处.因为它逼近的是一个局部的极小点,缺少整体性,从整体的角度来看,这不一定是收敛速度最快的方向.其次,梯度法只用到一阶导数的信息,不适合用于二阶非线性方程组的求解.

对于共轭方向法而言,则还需要选定方向,要求满足共轭条件和下降的条件,并且每一次都要重新并反复确定搜索方向,操作量比较大,在求解非线性方程组的过程的会消耗大量的时间.

为了弥补此类方程在实际解决非线性方程组的解法上的不足,我们便可以用牛顿迭代法.牛顿迭代法作为求解非线性方程组的最经典的方法之一,有着独特的意义.

牛顿-拉弗森（Newton-Raphson）法也叫做牛顿迭代法,它可以适用于高阶的非线性方程组,并且也不用像共轭方向法那样,周而复始地搜索方向.牛顿迭代法在迭代的过程中,只需要迭代几次就可以轻松的得到非常精确的非线性方程组的解.并且通过牛顿迭代法还可以求方程组的重根和复根.

该方法最大的特点在于将非线性问题进行线性化,简化了求解过程.牛顿迭代法还可以求解一些代数方程和超越方程.另外牛顿迭代法也广泛的应用在计算机编程中.牛顿迭代法为后世研究求解非线性方程组的问题中作出了杰出的贡献,根据牛顿迭代法延伸出很多的方法,比如：最速下降法、牛顿插值法、牛顿下山法、弦截法等等.

2 预备知识

牛顿迭代法的基本思想：把一个非线性方程线性化,再用线性方程的解去逼近非线性方程的解.首先,我们针对一个一元非线性方程,在实现非线性方程的线性化过程中,我们可以对该非线性方程做一阶泰勒展开.

对于一个一元函数,取,对在处做一阶的泰勒展开：

,

其中在和之间,取,那么把

,

看作高阶无穷小量,则有

.

方程可以近似的表示为

,

其中=0的根

对于这个线性方程,我们可以记其近似根为,那么的计算公式为：

,

做次迭代,即得牛顿迭代公式

,

注：公式推导的过程用的是的泰勒展开式中的线性部分作为的近似值,所以牛顿迭代法是一个反复迭代线性化的方法.

牛顿迭代法的几何解释：

方程的根在几何上可理解为曲线与轴的交点的横坐标.若是根的一个近似,那么过曲线上横坐标为的点作曲线的切线,则这条切线与轴的交点的横坐标即为,如下图所示.

图1 牛顿迭代法的几何意义

因此,牛顿迭代法也可称牛顿切线法.

3 非线性方程组的牛顿迭代公式

对于二元函数而言,也可通过泰勒公式展开：

设在点的某一领域内连续,且直到阶都有连续的偏导数,在该领域上的任意一点,则有：

.

设在点的某一领域内连续且直到二阶有连续的偏导数,领域内任意的一点,有

,

方程可近似地表示为

.

即

.

同理设 在点的某一领域内连续且直到二阶有连续的偏导数,该邻域内任意的一点,同样有

.

方程也可近似的表示为

.

即

.

根据和,通过联立方程组,转化为求解非线性方程组的问题.

得到的方程组为

当时,

,

,

从而有

于是,我们可以简化方程组

记符号 .

.

.

那么方程组可以改写为：

则方程组的迭代公式可以写为：

通过这个迭代公式,便可以求出当时的值,当时,此方程组的根为.

注：其中的为给定的误差控制项,并且

以上说明了牛顿迭代法对二元函数方程组的求解过程,那对于一个多元函数的方程组,亦可同样使用牛顿迭代法来进行求解.

令 ,是个定义域在维空间区域的元函数,且二次连续可微,它的值域也在内.

该解可表示为：

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