论文总字数：3939字

摘 要

关键词：隐函数定理，极限点，分岔点，分岔-极限点

Abstract：The implicit function theorem is a necessary and sufficient condition. In this paper, we will analyze the forth conditional of the theorem that partial derivative equal to zero, discussing the situations that the forth condition is not satisfied. Meanwhile, based on numerical simulation, the behaviors of the associated curve are obtained.

Keyword：Implicit function theorem, Limit point, Bifurcation point, Bifurcation-limit point

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

3 分析方法 6

3.1 极限点 7

3.2 分岔点 8

3.3 分岔极限点 9

3.4 尖点 11

结 论 12

参 考 文 献 13

1 引言

从中学开始我们就陆续接触一些函数。在之前我们所接触的函数，其表达式基本都是自变量的某个算式，如：，。像这种把因变量放在等号的一端，而把自变量和常数放在等号另一边的函数我们叫做显函数。但有些时候我们还会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程所确定的，像这种将因变量和自变量都放在等号一边，而另一边为常数的函数叫做隐函数[1-4]。例如：。

隐函数是函数学习的重要一部分，在数学分析中占有举足轻重的地位[5]。通过学习隐函数我们可以更加详细的研究曲线、曲面，更好的探讨空间多面体。在研究隐函数时隐函数存在惟一性定理、隐函数可微定理是两个重要定理也是最基本的定理。很多关于隐函数的研究都离不开这两个定理。

其中隐函数存在定理是判断隐函数是否存在的定理，它有几种变形。常用的隐函数存在定理给出了领域内惟一存在性、连续性、连续可微隐函数的充分不必要条件。因此它不能满足能控性分析的需要。主要原因是：1、能控性分析所需要的是充分必要条件；2、存在的隐函数可能不满足惟一性、连续性、连续可微性；3、需要能够提供隐函数在领域中的分布特征[6]。

隐函数存在定理既是数学分析中许多问题研究的理论基础，又是许多数学分支学科例如：常微分方程、泛函分析等理论基础。隐函数存在定理在研究曲线、曲面中具有十分广泛的应用[7]。隐函数存在定理在求值问题、条件极值、优化理论，分岔理论[8]，非线性动力学[9]，还有经济学等方面也有着极其广泛的应用。

本文主要围绕函数存在惟一性定理展开，讨论当隐函数存在惟一性定理中条件四不满足时函数可能出现的一些情况。本文中还将会涉及一些分岔理论[10]，并对其进行简单的分析说明。

2 预备知识

定义2.1设，函数对于方程，如果存在集合，对于任何，有惟一确定的，使得，且满足方程，则称该方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。

如果将它记作，，，则等式，，恒成立。

定理2.2 隐函数存在定理 若函数满足下列条件：

① 在以为内点的某一区域上连续，

② (通常称为初始条件)，

③ 在内存在连续的偏导数，

④ .

则

1、存在点的某邻域，在方程惟一确定

了一个定义在某区间内的函数(隐函数) ，使得当

时,，且，；

2、在内连续。

注意：

1、该定理是充分不必要的。例如方程,在点处不满足条件四()，可是它依然能确定惟一的连续函数。

2、条件三、四只是用来保证存在的某一领域在这个领域内关于变量是严格单调的。可以把它削弱为： 在的某一领域上关于严格单调。

定义2.3 假设，我们把一个连续并且惟一的关系定义为解的一个分支。

定义2.4 如果解的分支在的取值范围内两个方向上连续，那么在的取值范围内，惟一性不在成立，这样的临界点叫做分支点。一般情况下，分支点分为极限点和分岔点。

定义2.5 设，且 ，若的任何邻域中总含有中与不重合的点，则称为的极限点。

定义2.6 如果解的分支在的取值范围上两个方向连续，那么函数的惟一性不再成立，这样的临界点叫做分岔点。

定义2.7 如果一条曲线四个分支中的两个通过该点，而且在取值范围内，两个分支切线的符号不同，其中一个分岔解中一支是极限，则该点称为分岔-极限点。

定义2.8 若一条曲线可以由几组光滑函数来表示，几组光滑函数有交点，但曲线只通过此交点一次，则此交点称为尖点。

3 分析方法

对于隐函数，我们不再注重解的惟一性，而着重关注解的多重性。在满足隐函数定理前三个条件时，随着条件四（）不满足，可能出现多种情形。而本文主要将对极限点、分岔点、分岔-极限点、尖点等四种情况进行详细的讨论。

为了方便说明上面的几种情况，下面将在一维的情况下进行比较详细的探讨，即取隐函数，其中。我们假设有连续的一阶和二阶导数。

满足方程的解可以分为下面几种类型。

首先当条件四满足，即时，出现的点叫做正则点。

此时，。

在该点处，即满足隐函数定理所有条件。我们可以找到一条惟一的曲线通过改点。

如图1：

图1 正则点的情形

示例1：

由于及其偏导数，在平面上任一点连续。

并且

，

，

。

所以该函数满足隐函数存在定理中的所有条件。

其图像见图2:

图2 示例1的图像

当不满足隐函数存在定理中第四个条件时，方程的解可能出现下面几种情况。

3.1 极限点

在该点处，，。

通过极限点，曲线切线的斜率符号发生改变,即曲线的在极限点两边有相反的符号。

如图3：

图3 极限点的情形

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