论文总字数：7348字

摘 要

关键词: 常微分方程，变量分离，存在性，稳定性

Abstract：  This paper expounds the related concepts of ordinary differential equations, and discusses the existence and stability of solutions of some ordinary differential equations based on the introduction of the relevant knowledge of ordinary differential equations.

Keywords： ordinary differential equations, separation of variables, existence, stability

目 录

1 前言 3

2 一阶常微分方程 3

2.1一阶常微分方程的解的存在性 4

2.2一阶常微分方程的解的稳定性 6

3 高阶常微分方程 10

3.1 高阶常微分方程解的存在性 10

3.2 高阶常微分方程解的稳定性 12

4结论 16

参考文献 16

致谢 18

1 前言

常微分方程是个有近半个世纪发展经历的古老学科，它更是活跃在在数学的应用中。常微分方程是随着一起发展起来的, 微积分可以说是它的母体,对常微分方程的研究也可分为以下几个阶段。在初期，数学家们对具体的常微分方程，希望可以用超越函数或初等函数来表示它的解,这个阶段属于“求通解”时代；后来莱布尼茨尝试利用变量转换来解决一阶微分方程的求解问题,另一位数学家欧拉则希望用积分因子来处理这个问题.不过求解热潮最终被刘维尔证明中断，后来柯西提出了初值问题,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。在以后,因为计算机技术有了进一步地发展,常微分方程从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,数学家们发现了特殊的具有新性质的解和方程,如混沌（解）、及孤立子等.

此外，常微分方程与其他学科相结合，出现了新的分支,如控制论、种群分析、、分支理论、、脉冲微分方程等.

常微分方程是数学分析的一个分支,它正在随着时间不断进步,掌握常微分方程对学习数学有着非常重大的意义.这篇文章对几类非线性常微分方程的存在性和稳定性进行了一定的讨论,并且结合例题做了进一步分析.

2 一阶常微分方程

2.1一阶常微分方程的解的存在性

定义 凡是联系自变量，这个自变量的未知函数，及其直到阶导数在内的函数方程

（2.1）

叫做常微分方程，其中导数实际出现的最高阶数叫做常微分方程的阶。

定义 设函数在区间，且有直到。如果把及其相应的各阶导数代入（2.1），得到关于，即

对一切，则称为微分方程（2.1）在区间上的一个解。

定义3^[3] (利普希兹条件)函数称为在矩形域:关于 y 满足利普希兹条件，如果存在常数 Lgt;0 使得不等式

对所有都成立。L 称为利普希兹常数。

定理1^[4]

.

如果 在上连续且关于满足利普希兹条件, 则方程(2.2)存在唯一的连续解 定义在区间,且满足初始条件这里。

例 ： 证明初值问题

（2.3）

的解存在性。

证：若是初始值问题的解,（2.3）两端积分

（2.4）

反之，若一个连续函数满足（2.4）则它是（2.3）的解。

构造迭代序列来证明（2.3）有解。

取，

，

，

...

由于收敛，且

代入验证函数为初值问题的解, 这就得到解的存在性。

2.2一阶常微分方程的解的稳定性

考虑微分方程组

(2.4)

其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件。

设方程（2.4）对初值存在唯一解,而其他解记作.本文中向量的范数取 .

如果所要考虑的是有限闭区间，那么这是连续依赖性;现在所要考虑的是无穷区间，那么解对连续依赖性，这就产生的意义下的概念^[16]

如果对于任意给定的和都存在,使得只要就有.对一切成立，则称（2.4） 的解 是稳定的,否则是不稳定的。

假设是的，而且存在,使得只要,就有

.

则称（2.4）的解是的。

为了简化讨论，通常把解 的化成零解的问题。下面记,,

作如下变量代换：

令

(2.5)

则

于是在变换（2.5）下，将方程（2.4）化成

(2.6)

其中，这样关于（2.4）的解 的稳定性问题就化为（2.6）的零解的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2.4）的零解的稳定性，即假设,并有如下定义：

定义 2.1 ^[5] 若对于任意给定的和，存在,使当时有

（2.7）

对所有的成立，则称（2.4）的零解是稳定的，反之是不稳定的。

定义 2.2^[6]若（2.4）的零解是稳定的，且存在 （为定义2.4中的），当时有

.

则称（2.4）的零解是渐近稳定的。

例 . 考察系统

的零解的稳定性。

解：不妨取初始时刻,对于一切, 方程组满足初值条件 ,的解为

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