柯西不等式的应用

论文总字数：7563字

摘 要

本文给出了柯西不等式的推论、等价形式和积分形式，并重点研究了柯西不等式在众多方面的应用，其中列举了在解方程组、不等式证明、等式证明、解三角问题、求参数范围、解微积分问题、求最值问题、求平面解析几何问题中的应用,并通过具体的实例阐述了柯西不等式在解题中的重要性.

关 键 词：柯西不等式,等价式,应用

Abstract: This paper gives the inferences of Cauchy inequality, equivalent and integral forms. It focuses on the application of Cauchy inequality in many aspects, including in the application of equations, the inequality proof, proof of equality, trigonometry, parameters range, solution calculus problems, solving the most value problem and the plane problems of analytic geometry. Through specific examples, it discusses the significance of Cauchy inequality in solving problems.

Keywords: Cauchy inequality,equivalent,application

目 录

1 引言……………………………………………………………………… 4

2 柯西不等式……………………………………………………………… 4

2.1 柯西不等式的推论…………………………………………………… 4

2.2 柯西不等式的等价式………………………………………………… 5

2.3 柯西不等式的积分形式……………………………………………… 6

3 柯西不等式的应用……………………………………………………… 6

3.1 在解方程或方程组中的应用………………………………………… 6

3.2 在证明不等式中的应用……………………………………………… 8

3.3 在证明等式中的应用………………………………………………… 9

3.4 在解三角问题中的应用……………………………………………… 10

3.5 在求参数范围问题中的应用………………………………………… 11

3.6 在解微积分问题中的应用…………………………………………… 12

3.7 在求最值问题中的应用……………………………………………… 14

3.8 在解平面几何问题中的应用…………………………………………15

结论………………………………………………………………………… 17

参考文献………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………… 19

1 引言

在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用.不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长,并且许多问题都能通过应用柯西不等式来解决.

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它往往具备结构对称，有较强的应用性，深受大众的喜爱.它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，是发现新命题的重要工具，是一个极有魅力的不等式.如果灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果.因此，对柯西不等式的探究是有益的.在解题过程中，灵活巧妙地应用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些难以解决的问题得以简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率.当然，我们在解题中并不一定能看出它的直接应用，需要适当地构造使用它的环境，以挖掘出隐含的联系后达到最终解题的目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、等价式，以及柯西不等式的应用，并通过一些实例讲述了它在各方面的应用.

2 柯西不等式

如果为两组实数，则

, (2.1)

当且仅当时等号成立，我们称不等式(2.1)为柯西不等式.

2.1 柯西不等式的推论

柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，具有极强的应用性，深受人们的喜爱.所以，若将此定理作进一步剖析，归纳出它的推论，将会有众多的收获.

推论 对任意两个实数列，，我们有

. (2.2)

推论 对于任意一个实数列，我们有

. (2.3)

2.2 柯西不等式的一些等价式

等价式1 对任意的两组实数，有,当且仅当.

上式又可以表示为向量形式，即对于任意的向量有，其中，等号成立当且仅当线性相关，这就是柯西—布涅柯夫斯基不等式.

等价式2 在（2.1）中，令，则, 即

,

也就是

,

上式往往对处理分式不等式带来极大的方便.

等价式3 对任意的两组实数，有

,

当且仅当为常数时，上式取等号.进一步变形为，此式用来处理分式不等式常常带来方便.

等价式4 对任意的两组实数，有

.

等价式5 对任意的两组实数，有

,

当且仅当(为常数，)时，上式等号成立.

2．3 柯西不等式的积分形式

柯西不等式与积分问题相联系，也有非常漂亮的结果.

定理 设在上可积，则

. (2.4)

证明 因为可积，由定积分性质，推得都可积，及对任意实数，也可积,又因为，所以有.

即

,

由此推得关于的二次三项式的判别式非正，即

,

故

.

上式不等式就是所谓的施瓦兹不等式.

3 柯西不等式的应用

柯西不等式是非常重要的不等式，灵活巧妙地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题变的容易解决，亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率.在应用柯西不等式时，分析其结构，运用其解题的关键是构造两个数组和或多组数组，运用柯西不等式取等号的条件，以此达到解题的目的.

3.1 在解方程或方程组中的应用

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