函数最值的求法

论文总字数：7547字

摘 要

关键词：函数，最大值，最小值

Abstract: The concept of function passed through the entire process of mathematical teaching. It was an important constituent of mathematics. The extreme problem is one of the important topics in the research of functions. In this paper, we discussed the extreme problem in middle school mathematics and summarized several kinds of methods to seek the maximum or minimum values of different functions.

Keywords: Function, maximum, minimum

目 录

1引言 …………………………………………………………………4

2利用代数方法求函数最值………………………………………………………4

2.1配方法……………………………………………………………………4

2.2判别式法…………………………………………………………………5

2.3用某些特殊等式、不等式求解………………………………………………8

3利用分析方法求函数最值……………………………………………………10

3.1利用单调性求函数最值……………………………………………………10

3.2求导法……………………………………………………………………… 11

3.3用换元法求最值…………………………………………………………… 12

4利用几何意义求函数最值…………………………………………………… 13

4.1利用函数解析式的几何意义法…………………………………………… 13

4.2用复数的几何意义求最值的方法………………………………………… 18

结论………………………………………………………………………20

参考文献………………………………………………………………21

致谢……………………………………………………………………22

1引言

一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。求函数最值是研究函数性质的一个重要的方面，在许多实际问题中，经常会提出在一定条件下，怎样用料最省或成本最低、时间最短、效率最高等问题，而这些问题在数学上可以归结于某个函数的最值问题，函数最值在实际生活中有着广泛的运用。本文归纳了一些求函数最值的常用方法及应用实例, 也 指出了求最值问题解题中的一些注意事项。

2 利用代数方法求函数最值

2.1 配方法

这是处理多元函数最值题的一种应用广泛的方法. 用配方法求最值的基本思路是设法将问题配成若干个完全平方式之和的形式. 对于二次函数和经换元可化为二次函数的函数求最值,经常可以使用配方法.

例 1. 求函数 的最大值.

解 ：.

可知取 即当 时,.

例2. 求函数 的最大值和最小值.

解:

当时，. 当时，.

配方法的注意事项：

例3． 若,且,求的最大值.

错解

这函数不存在最大值，只有当取得最小值

剖析 由已知，当且仅当时等号成立。欲最大，即最大，故正确答案为：当,即时取得最大值24。

例4. 已知，求的最大值。

错解

当取最大值为

剖析 上述解法似乎很有道理，实际上结果是错误的。问题在于当时，由已知得，这显然不可能，实质上在已知中隐含着即这一条件，若不注意挖掘就会导致错误。

正确的答案为：当时，取最大值为.

注 意 不论是直接或间接地利用配方法求函数最大值时都必须注意自变量的取值范围，或注意挖掘隐含条件，否则就会导致错误。

2.2 判别式法

　这是一种非常重要的求最值方法,它的基本思路是将关系式转化为二次函数形式, 利用一元二次方程的判别式来解出函数的最值

例5：求函数的极大值和极小值.

解:由得

.

此方程有实根,

.

解得或.

当时，.

当时，.

例 6： 求函数的最大值.

解：由变形得:

.

两边平方整理得.

.

.

当.

把.

.

例7：求函数的最大值和最小值.

解：化为:

.

因为x是实数，故

解得.

此外由.

故.

例8：.

解：令.

.

例9. 求函数的最值.

解：因为，

即有.

时， .

.

解得.

将代入原式得,即.

将代入原式得, 即.

所以当时，.

当时，.

判别式法的注意事项：

例10. 求函数的最值（为正数）。

错解 由已知得：且

于是

由，解得

剖析 当时，解得且 与 矛盾，当时，，且满足 是的最大值，不是的最小值

那么如何确定的最小值呢？

当时，

注意 成立只是利用判别式法求函数最值的充要条件，当值存在，且使，且与这时的值对应的值存在于函数的定义域内，才是用判别式法求函数最值的充要条件

2.3 用某些特殊等式、不等式求解

有些函数可利用已证过的重要不等式来求最值,这是知识综合应用能力的体现,常常需把抽象的代数式迁移成形象直观的几何式. 下列为两个中学数学中常用的均值不等式定理：

(1)如果则 .

(2) 如果 .

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