对渐近抛物线的一点探索

论文总字数：3871字

摘 要

关键词：函数，渐近抛物线，垂直渐近线

Abstract: Asymptotic parabola is an important tool to study functions, the main role to study the asymptotic parabola is convenient to draw graph accurately. In the article we give the definition of asymptotic parabola, get a detailed method for finding it. We also give some examples of its application.

Keyword: function, asymptotic parabola, vertical asymptote

目 录

1 引言及预备知识……………………………………………………………4

1.1 引言…………………………………………………………………………4

1.2 预备知识……………………………………………………………………4

1.2.1 垂直渐近线…………………………………………………………4

1.2.2 极值的第一充分条件……………………………………………………4

1.2.3 函数的凹凸性……………………………………………………4

1.2.4 判断函数的凹凸性的充分必要条件…………………………………4

1.2.5 拐点………………………………………………………………………5

2 定义及求法……………………………………………………………5

2.1 渐近抛物线的定义………………………………………………………5

2.2 渐近抛物线的求法………………………………………………………5

3 例题…………………………………………………………………………6

例1………………………………………………………………………………6

例2…………………………………………………………………………………7

结论………………………………………………………………………………10

参考文献…………………………………………………………………………11

致谢………………………………………………………………………………12

1 引言及预备知识

1.1 引言

对于某些曲线，当趋近于无穷大时，则曲线的图像逐渐与对应的一条抛物线接近重合，这一类曲线命名为渐近抛物线．研究渐近抛物线的作用主要是利用已知抛物线对曲线进行精确作图．本文对渐近抛物线给出了定义及求法，并利用图形辅助，举例直观说明渐近抛物线在精确作图中的作用．

1.2 预备知识

1.2.1垂直渐近线

若或，则直线是曲线的垂直渐近线（垂直于轴）．

1.2.2 极值的第一充分条件

设在点连续，在某邻域内可导．

（i）若当时，当时，则在点取得极小值．

（ii）若当时，当时，则在点取得极大值．

1.2.3 数的凹凸性

设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有

， （1）

则称为上的上凸函数．反之，如果总有

， （2）

则称为上的下凸函数．

如果（1）、（2）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格上凸函数或严格下凸函数．

1.2.4 判定函数凹凸性的充分必要条件

设为区间上的二阶可导函数，则在上为上凸（下凸）函数的充要条件是

．

1.2.5 拐点

设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格上凸和严格下凸的，这时称点为曲线的拐点．

2 定义及求法

2.1 渐近抛物线的定义

定义1 设函数的定义域为，若存在抛物线，使得，则称抛物线为曲线的渐近抛物线．

定义2 设函数的定义域为，若存在抛物线，使得，则称抛物线为曲线的渐近抛物线．

定义3 设函数的定义域为，若存在抛物线，使得，则称抛物线为曲线的渐近抛物线．

2.2 渐近抛物线的求法

定理 若定义在整个实数轴上的函数有作为渐近抛物线，则

，

其中

，

，

．

证明 因为，故，即

，

得到．

因为，故，得

．

于是．证毕．

3 例题

例1 描绘函数的图象．

解 的定义域为︳，易知函数的最高次项为二次项．若有作为渐近抛物线，则

．

故

，

，

．

所以的渐近抛物线为，故可改写为

︳.

因为 与 ，所以是函数的垂直渐近线．

因为,所以当时，函数的图象无限接近于抛物线．当＞时,函数的图象位于抛物线的上方；当＜1时,函数的图象位于抛物线的下方．

求得函数的一阶导数与二阶导数：

，．

由解得稳定点；由解得，将定义域分成四个区间

， ， ，．

列表讨论如下：

其中，是极小值点，极小值。作出图象：

图3.1

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