几个动态最优问题中的变分原理

论文总字数：18362字

目 录

第一章 绪论 3

1.1研究背景及其意义 3

1.2论文结构 4

第二章 预备知识 5

2.1重要理论 5

2.2常见问题 5

2.2.1变分法的基本问题 5

2.2.2欧拉方程的形式 5

第三章 几个动态最优问题的分析 7

3.1企业规模扩张及利润率 7

3.1.1问题背景 7

3.1.2模型的建立和求解 8

3.1.3小结 14

3.2狭长地区土地利用 15

3.2.1问题背景 15

3.2.2模型的建立及求解 15

3.2.3小结 18

3.3随机动态优化问题 19

3.3.1问题背景 19

3.3.2模型的建立及求解 19

3.3.3小结 24

3.4机器维护和销售日期 26

3.4.1问题背景 26

3.4.2模型的建立及求解 26

3.4.3小结 29

第四章 结论 30

参考文献 31

附录 32

致谢 33

几个动态最优问题中的变分

梁珊珊

，Jiangsu，China

Abstract：

In the article，we mainly solved four dynamic optimization problems．

First of all，we briefly described the development history of the variational method and the basic theory of solving the problem，and gave the preliminary knowledge of this paper．

Subsequently，in the process of enterprise scale expansion and profitability，a process in which net investment is scaled up as an expansion of the company's scale，the article solves the problem by using a variational model and an optimal control model，respectively，to find the optimal investment path under fixed boundary conditions．To maximize its profits，and should satisfy the Euler equation ．Or there is a Hamiltonian function ，which can use the maximum principle to solve the optimal solution and use the initial conditions and cross-sectional conditions to solve the solution．

Among them，in the narrow land use problem，the road width and the length are required to minimize the transportation cost，which also satisfies the Euler equation in a special case．

In the optimal control problem，in the controlled dynamic system，it is necessary to find the optimal strategy to maximize the total profit or goal，which is actually a functional extreme problem．Therefore，Hamilton function is required，and then the optimal control function and the optimal path are obtained by solving the general solution of the regular equation．The stochastic dynamic optimization problem and machine maintenance and sales date problem in this article use the above methods．

See chapter iii of this article for the detailed solution process．

Keywords：Dynamic optimization； Calculus of variations； Euler equation； Hamilton function； Maximum principle

第一章 绪论

1.1研究背景及其意义

在动态最优问题的分析中，最优化一直都是一个重要的研究方向，在许多领域也已经有了很多卓有成效的研究。而且在实际生活中也应用到了许多理论，在生活中处处能见可以用最优化分析和最优控制理论来解释的实例。

追溯到17世纪的晚期，变分法就已经是分析动态最优问题的经典数学方法，变分研究的是如何求一类特殊变量的函数。这类问题在很多科学钻研中会经常碰到，特别是力学、最优控制等方面。随着其不断发展和变化，变分也逐渐成了一门独立于其他数学分析方法的分支^[9][10]。在分析中，因为变量本身就是函数，所以问题就会变得比较复杂，比之以前学习的求微积分极值难度加大了很多，但也更加具有广泛的实际意义。

所谓泛函分析，便是求某个函数的极值，但特别的是，函数的自变量也是函数。求解一个使得某函数取极值的函数分析问题就是泛函极值的分析问题，这种求解泛函的极值的方法称之为变分法^[2][3]。求泛函的极值有很多方法，在变分法中欧拉方程则是其求解的必要条件，也便是说一个求泛函的极值问题和其对应的欧拉方程可以互相转换。因而在求解动态优化的题目中，利用变分法来分析问题有着深远意义。

现今，在生产的进程、经济行为以及在人们的一些其他行为中，经常要我们对被控体系或被控的进程加以某种控制力以使得其性能指标达最优，这种控制力说明的就是最优控制理论。而在最优控制问题的分析中，性能指标达最优便是泛函求得极值^[5]。所以探讨最优控制问题的泛函极值，就可以利用变分法。

文章的意义主要可以分为下面两点：

理论意义：在泛函分析里，经常使用变分法来求解问题。在当代的数学方法探讨中，其又是很多理论研究的指导理论，如偏微分方程、微分几何和最优控制理论等，同时也是当代数学方法的一个重要组成部分^[2][4]。在动态优化分析中，求解持续时间内规划题目的方法，便是文章中讨论的变分法和最优控制理论。文章在第三部分将通过例子求解动态最优化问题，探讨变分及最优控制理论，进而更加了解理论在解决问题上的重要作用。

实际意义：在很多的经济行为，生产进程中，我们必须思考资源在各个时期的优化设置，当选择的变量涉及到不同时期，讨论动态优化问题就具有实际的意义，同时也可以更好的把数学知识应用到经济学行为分析中。是以文章用变分法和最优控制理论来使问题达最优具备实际意义。

1.2论文结构

文章主要分四章，重点探讨了几个动态优化模型的建立和求解过程，以及在动态最优化问题上的一些相关理论的应用。具体结构如下：

第一章为绪论，给出了文章的研究背景及其意义。

第二章为预备知识，给出了题目探讨过程中所需要用到的一些重要理论和涉及到的问题。

第三章为文章的主要内容。

第四章为文章的结论。

最后是文章的参考文献、附录及致谢。

第二章 预备知识

主要给出了文章所需要的一些重要理论以及常见问题。

2.1重要理论

最大值原理：

此原理包含两个一阶微分方程，一个是关于状态变量的，一个是关于共态变量的^[4]。

最大值原理的条件：

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