高考线性规划题归类解析

论文总字数：10125字

摘 要

线性规划问题是研究线性目标函数在线性约束条件下的最值问题．历年来的高考题中都有此类问题，而这些题型往往都涉及到线性规划中的决策变量、约束条件、目标函数等．本文将结合高考题中相关的线性规划问题进行归纳解析，并总结出一些题型的解题思路和解题方法．

关键词：线性规划问题， 图解法， 高考题 ，数学模型，最优解

Abstract: Linear programming problem had been studied widely. Over the years, the college entrance examination referred to such problems that were often involved in linear programming decision variables, constraints and objective function. College entrance examination questions related to the linear programming problem were carried on the summary and analysis. Ideas and methods to solve the problem were summed up in linear programming problem.

Keywords: linear programming problem, graphical method, college entrance examination questions, the mathematical model, the optimal solution

目 录

1 引言 4

2 线性规划问题 4

2.1 线性规划问题的定义 4

2.2 线性规划问题的数学模型 5

3 高考题中与线性规划有关的题型 6

3.1 求线性目标函数的最值 6

3.2 求非线性目标函数的最值 10

3.4 讨论目标函数中参数的范围 12

3.5 讨论线性目标函数的约束条件 13

3.6 求线性规划问题的整数解 13

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1 引言

现在企业的规模越来越大，管理也越来越复杂．单从人力对管理问题进行分析与判断，难度很大^[1]．所以，现代企业家需要了解一些与管理方面的数学模型．下面介绍一种叫做线性规划的数学模型，从这种模型的发展历史中我们可以了解到，管理问题是如何促进数学的研究，而数学的进展又如何推动了管理的革新．

为了说明什么是数学模型，我们引用丹茨格解决的一个问题做例子，这个问题叫做配餐问题^[2]．当年美国空军为了保证士兵的营养，规定每顿餐的食品中，保证一定的营养成份，比如蛋白质、维生素、脂肪等等．都要定量的规定．而这些营养成份可以由各种不同的食物来提供．但由于战争条件有限，食品种类有限，又要尽量减少成本，因此把这些要求列出数学方程式，就可以解出最佳的配餐方案^[3]．在历史上，没有哪种数学方法，可以像线性规划那样，直接为人类创造出如此巨额的宝贵财富，并对历史的进程带来如此巨大的影响．

线性规划的研究成果还直接地推动了其它数学规划问题包括整数规划^[4]、随机规划和非线性规划的发展．同时由于电子计算机的发展，可以很方便地利用线性规划软件来求解，这也使得线性规划的应用范围更加广阔，从解决技术问题的最优设计到工业、农业、商业、交通运输、军事、经济、管理决策等众多领域都可以发挥作用^[5]．

高考是国家选拔人才的重大考试，其中数学是众多学科中的一个重要学科,也是高考生学习的重点.由于知识总量不断增加,知识体系也不断扩大.因此我们把数学知识划分成不同的模块来研究,线性规划是其中的一个模块.

下面通过研究数学模型的特点讨论高考中与线性规划有关的问题并加以归类与分析.

2 线性规划问题

在生产计划的组织、管理、和经济领域中，有相当一部分问题都可以用线性规划来解决.一般来说,线性规划研究以下两类问题：（1）一项任务确定后，如何统筹安排，使得用最少的人力、物力和最短时间去完成这项任务；（2）存在一定的人力、物力、时间的条件下，如何统筹安排使得任务完成的最多.

2.1 线性规划问题的定义

从数学上说,线性规划问题具有以下特征:(1)每个问题都用一组未知变量表示某一方案,这组未知变量的一组定值代表一个具体方案；（2）在一定的限制条件（约束条件）下，这些约束条件都可以用一组线性等式或线性不等式来表示；（3）都有一个目标要求，并且这个目标可表示为一组未知变量的线性函数（称为目标函数），按研究问题的不同，要求目标函数实现最大化或者最小化.满足这些特征的问题称为线性规划问题.

2.2 线性规划问题的数学模型

通常称现实世界中人们关心、研究的实际对象.模型是指将某一部分信息缩减、提炼而构造的原型替代物^[11].数学模型则是对现实世界的一个特定对象,为达到一定目的,根据内在规律做出必要的简化假设.并运用适当数学工具得到的一个数学结构^[12].

线性规划问题的数学模型包含三个组成要素.(1)决策变量,指决策者为实现规划目标采取的方案，是问题中要确定的未知量.(2)目标函数,指问题要达到的目的的要求,表示为决策变量的函数；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式.如果在规划问题的数学模型中,决策变量为可控的连续变量,目标函数和约束条件都是线性的,这类模型称为线性规划问题的数学模型^[13].

由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别,线性规划问题可以有多种多样.为了便于讨论,规定线性规划问题的标准形式如下:

线性规划问题与我们的生活息息相关.下面举一个生活中的例子,并建立数学模型.

杨阿姨每天上午在家中做好包子，下午在所住小区的大门外贩卖，晚上到另一个小区陪孙子．杨阿姨每天为一件事情纠结：不知道该做多少包子．包子的成本是2角钱，一般卖5角钱一个，如果包子做多了，到距离晚上还有半个小时的时候包子还没有卖完，杨阿姨就必须降价处理，按3个包子1元钱销售；到晚上包子仍有剩余就只能免费送人处理．但是如果包子做少了，不够卖，也会造成一定的利润损失．现在杨阿姨很困惑，到底每天应该做多少包子呢？

假设杨阿姨卖包子的时间固定，且考虑天气恶劣让杨阿姨卖包子数量减少、在节假日能提高杨阿姨的销售业绩．因此杨阿姨的销售业绩分为：业绩较差时、业绩一般时、业绩较好时．

假设向杨阿姨了解关于在业绩一般时销售情况，业绩好时一天的销售情况，还有在业绩差时一天中的销售情况.得到杨阿姨回答如下表.

	业绩较差	业绩一般	业绩较好
5角钱一个	70	100	120
3个1元	30	60	90
免费送人	20	30	20
收入	20	32	44

假设向杨阿姨了解销售业绩一般时连续三天的销售情况，三天总共最多卖35角钱的包子320个，三天总共最多卖3个1元的包子200，三天总共最多免费送出90 ．得到杨阿姨的回答如下表.

	业绩较差	业绩一般	业绩较好
5角钱一个	70	100	120	lt;=320
3个1元	30	60	90	lt;=200
免费送人	25	30	20	lt;=90
收入	20	32	44

以杨阿姨售卖包子为例，在建立数学模型的过程中，找出题目中的决策变量，将题中要求的文字语言转化成数学语言，其本质为线性规划问题中的约束条件，借助表格可以清晰地看到从抽象到具体的数学线性规划问题，用数学表达式体现出线性约束条件，列出线性目标函数．诚然，与线性规划问题相关的实例还有很多，涉及各个方面，下面我们就从高考中出现的有关线性规划问题来进行归类和分析．(以下会举例出近3年在各省高考题中出现的相关考题,括号中前面的文字为省份,后面的数字为题号).

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