论文总字数：12594字

目录

1、引言 1

2、四阶紧致差分格式 2

3、守恒律分析 4

4、局部截断误差分析 7

5、数值实验 10

6、总结 13

参考文献 14

致谢 16

Klein-Gordon-Schrödinger方程的

一个两层紧致差分格式

朱云

，China

Abstract：In this paper, we propose and analyze a conservative high-order compact finite difference scheme for the Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) equation with Dirichlet boundary condition.By introducing the time-derivative of one solution as a separate dependent variable, we rewrite the KGS equation as a system of ordinary differential equations and obtain a two-level compact finite difference scheme. Based on the matrix knowledge on the vector form, we convert the point-wise form of the proposed compact scheme into an equivalent vector form and analyze its conservative properties and local truncation error. We prove that the proposed scheme preserves the total energy and charge in the discrete forms and the local truncation error order of the scheme, is at the order of . Numerical experiments are carried out to verify the performance of the scheme.

Key words: Compact finite difference, Klein-Gordon-Schrödinger equation, the matrix knowledge,

Dirichlet boundary condition

1、引言

Klein-Gordon-Schrödinger(KGS)方程：

（1.1）

描述了量子场论中守恒复中子场和中性介子场Yukawa的相互作用。其中未知函数表示复标量核子场，未知函数表示实标量介子场，。

目前为止，已有大量文献对KGS方程进行了深入研究。Fukuda，Tsutsumi 和Makhankov [1, 2]建立了KGS方程的全局平滑解的存在唯一性。参考文献[3-5]给出了KGS方程的全局解和渐近行为。参考文献[6-10]给出了KGS方程的稳态波，平面波，孤立波和周期波解的稳定性。在数值上，有不同的数值方法应用于KGS方程，包括谱和伪谱方法[11,12]，辛和多辛方法[13 -15]，配置方法[16 -18]和有限差分法[19 -21 ]。

近来，人们对用于解决偏微分方程（PDE）的高阶紧致方法越来越感兴趣，这在高频波现象的数值模拟中起着重要作用。Wang等[22,23]研究了一些用于计算2011年和2014年非线性Schrödinger（NLS）方程的紧致有限差分格式。[24-26]设计了一个三层紧致有限差分格式，用于解决KGS方程的初边值问题，并分别分析了格式的收敛性。

在本文中，我们分析了具有狄利克雷边界条件的KGS方程的两层守恒高阶紧致有限差分格式。文献[22]分析了NLS方程的两层紧致格式，但是，要获得KGS方程的两层紧致有限差分格式的理论结果是非常困难的。为了在理论上分析两层高阶紧致格式，我们使用解的时间导数作为单独的因变量，并将初边值问题改写为KGS方程式的一个等价形式。这使得我们成功分析了两层高阶紧致有限差分格式。一旦该形式被一些离散方法所近似，辅助变量将被消除以获得相对于原始解的计算过程。此外，由于系数矩阵不循环，在周期边界条件下使用的方法不能直接扩展到狄利克雷边界条件问题。幸运的是，我们将新格式的逐点形式转换为等价向量形式，然后运用矩阵运算，来证明新格式在离散形式下质能守恒，并获得新格式的局部截断误差为。