一阶非线性微分方程可线性化问题的研究

论文总字数：9188字

目 录

一．绪论1

二．引言1

2.1 一阶常微分方程1

2.1.1变量可分离方程的求解2

2.1.2一阶线性微分方程的求解3

2.2 线性化4

三．一阶非线性微分的方程线性化5

3.1 一般非线性微分方程可线性化的充要条件5

3.2 一类特殊结构非线性微分方程的线性化问题8

四．非线性微分方程变化为特殊形式方程10

4.1 一阶非线性方程线性化为10

4.1.1一般形式非线性方程10

4.1.2特殊型非线性方程11

4.2 一阶非线性方程线性化为12

4.2.1一般形式非线性方程13

4.2.2特殊型非线性方程13

4.3 一阶非线性微分方程转化为方程14

五．总结19

参考文献19

致谢19

绪论

非线性微分方程的结构比较复杂，所以处理起来相对比线性方程、常系数微分方程等较简单的微分方程困难的多。但是，如果一个非线性微分方程可以通过可逆变换，转化为较简单的微分方程形式，将大大简化方程的求解问题。这个思想和非线性系统里的反馈等价方法相类似。两个微分方程如果可以通过可逆变化相互转化，则我们称他们是可逆等价的，如果一个非线性微分方程可以可逆等价于一个线性微分方程，则称这个非线性微分方程是可线性化的。

非线性微分方程的线性化问题已经得到了众多国内外学者的研究，如[3][4][5][6][7][8].其中，文献[3]讨论了一类特殊结构的一阶非线性微分方程的可线性化问题，并给出了充分必要条件。本论文的目的在于推广文献[3]的结论，即讨论一般形式的一阶非线性微分方程在可逆变换下的线性化问题，并给出充分必要条件。并证明了，文献[3]的主要结果是本论文结果的直接推论。

本论文的主要内容如下：

第一部分主要回顾了一阶常微分方程的一些基本概念和变量可分离方程、线性微分方程的基本解法。同时介绍了非线性微分方程线性化的概念。

第二部分研究了一般形式的一阶非线性微分方程可逆等价于线性微分方程的问题，给出了可线性化的一阶非线性微分方程的结构，并给出了其可线性化的充分必要条件。我们的结论推广了文献[3]中的主要结果。

第三部分利用前面已得到的理论结果，研究了一阶非线性微分方程可逆等价于两类特殊结构的线性微分方程的问题，并给出了充分必要条件。最后研究了一阶非线性微分方程可逆等价于方程的充分必要条件。

引言

2.1一阶常微分方程

微分方程是一种函数方程，它是一个关于自变量、未知函数和此未知函数的导数的等式，若此未知函数是仅关于一个自变量的函数，则称其为常微分方程。^[1]微分方程中未知函数的最高阶导数阶数称作该微分方程的阶，本文主要研究一阶微分方程，即

.

若一阶常微分方程中未知函数及其导数的次数为或，则此微分方程为一阶线性微分方程，其形式为

微分方程有着非常重要的实际背景，是分析和解决物质运动规律的一个重要工具，对于实际生活中的一些运动规律大部分都可以写成微分方程的形式，求出微分方程的解能够清楚的掌握这些运动规律。本节我们将回顾两类简单形式的常微分方程及其求解方法。

2.1.1变量可分离方程的求解^[1]

作为一阶微分方程的最简单形式，变量可分离方程的基本形式如下：

其中，和均为定义区间内的连续函数。考虑方程带有初始条件的定解问题。若是方程的任意的一个解，由解的定义，有

设，上式可写为

对上式等式左右两边同时积分，有

上式表明，当时，方程在初始条件下的定解问题的解满足

反之，如果是方程的解，则有式成立，由式左右两边对求导，可以推出方程，从而有成立，这说明方程的解也是的解。

如果只考虑非定解问题，即方程(1)的通解，一般可表示为

于是上式是时，方程的解。

如果存在，使得 ，那么也是方程的解。

例2.1求解方程

解：当时，将方程化为

对其左右两端积分，得

解得方程的通解为

当时，也是方程的解，包含在通解中，此时，于是此方程的通解为，为任意常数。

2.1.2一阶线性微分方程的求解

在前文中已经提到，形如

的方程成为一阶线性微分方程，如果，即

则称此方程为一阶线性齐次微分方程。若不恒等于零，则称方程为一阶线性非齐次微分方程。显然，(6)对应的齐次方程是变量可分离的，根据2.1.1节的结论可知，其通解形式为

线性非齐次方程的解法可以利用(7)通过常数变易法得到。首先，设方程(6)通解形式为

其中是未知的，将带入，得到

即

对上式积分得

将其代入,得到的通解为

例2.2求解方程

解：首先求齐次方程

的通解为

利用常数变易法将其变易为

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