两组矩阵同时相似问题研究

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目 录

绪论 1

1. 矩阵的基本概念及定理 1

1.1矩阵基本概念 1

1.2相似矩阵 2

1.3公共特征向量 6

2. 两组矩阵同时相似问题 7

2.1两个矩阵同时相似于对角阵 7

2.1.1两个矩阵同时相似于对角阵的充要条件 7

2.1.2 求两个矩阵同时相似于对角阵的过渡矩阵 10

2.2两组矩阵同时相似问题 11

2.2.1 两组可对角化的矩阵同时相似充分条件证明 11

2.2.2 过渡矩阵计算方法 14

2.3两个矩阵同时相似于上三角矩阵 15

2.3.1两个矩阵同时相似于上三角矩阵 15

2.3.2求两个矩阵同时相似于若尔当形矩阵的过渡矩阵 17

2.4两组矩阵同时相似于若尔当矩阵 18

3．两组矩阵同时相似的进一步研究 19

3.1 两组个矩阵同时相似于对角阵 19

3.2 两组个的矩阵同时相似 22

3.3两组个矩阵同时相似于上三角矩阵 23

总 结 24

参考文献 24

致谢 25

绪论

矩阵在线性代数的研究上极其重要，例如线性方程组的解的过程可以转换成矩阵的运算，线性变换的基变换也涉及到矩阵的运算等等。同时线性变换的一些性质也可以用矩阵的性质来体现，比如，线性变换的特征值和特征向量与矩阵对角化过程密切相关。在查阅文献[1][2]的时候了解到两个矩阵可同时对角化的充要条件，文献[5]中介绍了将一个矩阵化为若尔当标准形的过渡矩阵的求法，在文献[3][4]中，对矩阵相似有关定理和性质又有诸多结论，在这些前提下，本论文做了如下工作。

本文的第一部分就是证明了两个至多个矩阵同时相似于对角阵的条件，从基本的矩阵相似定义和定理出发，对论文主要证明过程中要用到的知识点进行详述，保证论文脉络清晰。本文的第二、三部分是论文主要结论的证明过程，对于两个矩阵同时相似于对角阵的充要条件，两组矩阵同时相似的充分不必要条件，两个矩阵同时相似于上三角阵的充分不必要条件，以及扩展到个矩阵和组矩阵上，结论仍然成立。

1. 矩阵的基本概念及定理

在本文对主要结果展开叙述之前，从矩阵知识的一些基本概念和定理进行阐述和简单证明，以便阅读论文的人能够较好地理解文章的知识点脉络，更好地理解论文中证明的主要结果，并且能够帮助对矩阵知识点了解甚少的阅读者接受论文证明的定理。

1.1矩阵基本概念

本小节将本论文所提到的矩阵基本概念进行解释，对称矩阵、正交矩阵、对角形矩阵、上三角矩阵、下三角形矩阵、若尔当标准形矩阵，矩阵合同等，这些类型的特殊矩阵在本论文的证明过程中和在矩阵研究中有重要地位。

设矩阵的一般形式为：，其中是矩阵中任意元素。

对称矩阵是满足的一类方阵，即对称矩阵的元素沿对角线元素对称相等。

正交矩阵的元素与矩阵的逆和矩阵的转置密切相关。矩阵的逆是当方阵满足，其中为单位阵，一类主对角线上元素为，其他元素为的方阵，则称矩阵的逆是矩阵，记为，矩阵的逆是矩阵，记为；矩阵的转置是矩阵元素沿主对角线互换元素的值，记为

；

正交矩阵是满足的方阵。

对角形矩阵是指主对角线上元素可以不为零，其他未知元素均为零的矩阵，例如单位阵。

上三角形矩阵是指主对角线即其以上的元素可以不为零，主对角线以下元素为零的方阵，例如：

反之，主对角线以上元素为零的方阵为下三角形矩阵。

若尔当标准形矩阵是一类特殊下三角形矩阵，形如：

其中为若尔当块

其中是复数，是矩阵维数。

1.2相似矩阵

上述对特殊类型矩阵介绍中提到的矩阵的逆、矩阵转置等描述矩阵间的关系，除此之外，矩阵相似也是矩阵与另一个矩阵间的重要关系，本小节就来阐述相似矩阵的一些定义和定理。

定义1 设和是数域上的两个级矩阵，如果在数域找到一个级可逆矩阵矩阵，使成立，则称和相似。

定义2 设和是数域上的两个级矩阵，如果在数域找到一个级可逆矩阵矩阵，使成立，则称和合同。

定义3 设和是数域上的两个级矩阵，如果在数域找到一个级可逆矩阵矩阵，使和同时成立，则称和合同相似。

在线性空间上，事物之间的联系就反应为线性空间的映射，线性空间上一个到自身的映射通常称为变换。

定义4 在线性空间上的一个变换称为线性变换，如果对于线性空间中的任意元素和数域的任意数都有

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