论文总字数：14520字

目 录

摘要 1

Abstract 2

1 引言 3

2 标准有限差分格式及其解的存在性 7

3 离散意义下的总质量和总能量守恒律 8

4 差分解的收敛性分析 14

5 数值实验 20

6 总结 25

参考文献 25

致谢 27

非线性Schrödinger方程标准Crank-Nicolson

格式的最优误差估计

杨帆

, China

Abstract: In this paper, we carry out a detailed study of the standard Crank-Nicolson scheme for the nonlinear Schrödinger equation in many aspects. At first, we propose the scheme and prove the existence and uniqueness of the numerical solution by using the fixed point theorem. Secondly, by introducing a new kind of discrete energy functional, we prove that the proposed scheme can still preserve the total energy in discrete sense. At the same time, the scheme also preserves the total mass in the discrete sense. Then, by using the Taylor’s expansion, the local truncation error of the proposed scheme is proved to be of second-order in both space direction and the time direction. Based on this basis, we establish the optimal error estimate of the scheme in the maximum norm. At last, we transform the nonlinear Schrödinger equation into the tri-diagonal system of linear algebraic equations, and solve it by using the Thomas Method. Numerical results are reported to test the mass conservation, the energy conservation and the error accuracy of the standard Crank-Nicolson scheme for the nonlinear Schrödinger equation.

Key words: Nonlinear Schrödinger equation; Local truncation error; Conservation laws; Optimal error estimate; Numerical simulation

1 引言

非线性Schrödinger（NLS）方程在量子物理及非线性光学等物理学的很多领域都有极为广泛的应用[1-4]，已有大量文献对它的初值问题或边值问题进行了数值研究，包括有限差分法[5-13]、有限元方法[14-16]以及有限体积法等，也有一些文献讨论了NLS方程的某些守恒格式[17-20、23-26]。本文对如下的广义非线性NLS方程

，，, (1.1)

进行数值研究，其中是一个非零实常数，，函数为已知的光滑实函数，为未知的复值波函数，是到的已知单调函数，在不同的物理问题中可取不同的表现形式[4]比如多项式函数、指数函数、对数函数或有理函数。具体计算中，往往取一个有限的计算区域，其中gt;gt;。本文研究非线性方程(1.1)带有如下初边值条件

，， (1.2)

，， (1.3)

的初边值问题，其中是已知的光滑复值函数。容易验证，初边值问题(1.1)-(1.3)是一个哈密顿系统，而且满足如下的总质量守恒

， (1.4)

和总能量守恒

(1.5)

其中是的任意原函数，即有。

在此，我们对上述守恒律进行验证：

1.1 质量守恒定律

在(1.1)式两端同时乘以并求到上的积分，得到

，，， (1.6)

取(1.6)式的虚部

，

即

. (1.7)

将(1.7)式左端第一项化简

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