论文总字数：8707字

目录

1.引言 1

2.经典Pade逼近原理简介 1

2.1 泰勒级数问题 5

2.2 经典Pade逼近 5

3.滤波器设计与Pade逼近 5

3.1 滤波器的设计 6

3.2 Pade逼近条件 7

3.3 Pade逼近法设计滤波器 8

4.内模控制和PID的近似实现 10

4.1 MC与PID控制器 12

4.2内模控制的PID近似实现 13

5.Pade逼近在其它领域的一些应用 13

5.1 Pade逼近在力学中的应用 14

5.2 Pade逼近在静力学中的应用 14

参考文献 15

致谢 16

附录 16

Pade逼近方法及其常见应用

邓斯化

摘要：使泰勒级数展开式有尽可能多的项与原来的幂级数吻合，然后构造一个有理函数分式来近似这个幂级数，我们把这种逼近方法称之为Pade逼近。在科学与技术突飞猛进的今天，Pade逼近不止在数学的各个计算领域里面有着不俗的应用，在生物科学、环境科学、物理学中，这种特殊的逼近方法也被广泛的用到。被无数的学者和科学家们反复研究的Pade逼近法，在本文中，我们将要讨论到如何利用Pade逼近法来有效的设计滤波器。此外，本文还将简单介绍有关于Pade逼近与内模控制的PID控制器的纯滞后过程适用情况，及其他几种常见逼近法与Pade逼近的一些对比。

关键词：Pade逼近，滤波器设计，内模控制，PID控制器

Pade approximation method and its common applications

Deng Sihua

College of mathematics and statistics, Nanjing University of Information Science amp; Technology Nanjing Jiangsu

Abstract：Pade approximation is a special kind of rational approximation, and in the science and technology of many calculations have a wide range of applications. This paper mainly introduces some basic properties of Pade approximation. And focuses on the role of the Pade approximation method in the filter design. In addition, the paper also briefly discusses the first order plus pure delay process, the delays were one order Taylor approximation, Pade approximation, the two order Pade approximation, allpass approximation. Design a PID controller based on internal model theory, and the parameter setting is analyzed, evaluation of the application of various PID controllers.

Key words： Pade approximation, filter design, Internal model control, PID controller

1.引言

在数学中，逼近的方法是用来把复杂的函数以近似的方法近似为简单函数。多项式逼近是一种最为常见的逼近方法，然而多项式逼近往往是幂级数的情形，而在现实生活中，很多常见的问题情形都不是多项式逼近能够解决。于是，科学家们采用了一种多项式的推广，即Pade逼近，这是一种特殊的有理型逼近，因为有理函数的特点，可以使它在极点的附近取得很好的逼近效果。这很符合实际生活中的一些常见的问题。自十九世纪以来，有尼乌斯，帕德近似这个和其他数学家进行了一系列的开发研究。当今社会，Pade逼近已经被广泛的应用于生物科学、物理科学、环境学等等各个领域。本文，将从Pade逼近的基本原理开始介绍，讨论学习Pade逼近在滤波器的设计方面的应用以及关于内模控制的PID控制器的近似实现。

2.经典Pade逼近原理简介

2.1 泰勒级数问题

一个函数的泰勒级数展开式的系数，和这个函数的值之间的关系，即是一个深奥的数学问题，又是一个重要的实际问题。关于它的研究，是基于数学分析和物理、生物科学中的自然数学模型的实际计算的基础之上的。如果一个泰勒级数的展开式绝对收敛，那么它唯一确定了一个任意次数的可微的函数。相反的，如果一个函数是任意次可微的，那它也只有一个对应的泰勒级数展开式。实际上，我们把函数近似为一个尽可能长的多项式。然而这种方法在实际运算中有一些很不理想的局限性。例如：

… （2.1.1）

很容易看出，当xgt;0.5时，泰勒级数表达式均不收敛，尽管在时，是一个保持在1至的光滑适当的函数。我们应用一个特殊技巧，将级数转变为一个较长的多项式。然后做一个等量变换，那么让或者，于是就有：

在这个等量变换的情况下，就可以变为。这样泰勒级数展开式收敛于。

是关于x的有理分式。

2.2 经典Pade逼近

借助函数的泰勒级数来研究函数的性质，在纯数学领域中是一种经常使用的手段。用泰勒多项式逼近一个函数在许多情况下都是可行的，但这种方法偶尔也会暴露出某些缺点。因为对于一般的函数来说，泰勒级数的收敛是比较缓慢和小范围性的。但是，运用有理逼近就能加快泰勒展开的逼近速度和扩大它的逼近范围。从一开始就幂级数Pade逼近，以获得一个简单的，高效的方式有理函数近似。其基本思想是：给定功率序列的形式，建立一个合理的功能（分子和分母数量有限），使其成为泰勒展开有尽可能多的项目原来的幂级数相匹配。然后，有理分式函数被调用帕德近似。

帕德近似的经典定义：