分类讨论思想方法在解题中的应用

论文总字数：5126字

摘 要

关键词：分类讨论，思想，方法，原则，原因

Abstract: Classification discussion is an important mathematical way of thingking, and it has been widely used in solving mathematical problems. In this paper, we propose the principles which we must follow in the process of classification discussion, and analyze the reasons of causing classification discussion and discuss the problem-solving approach of classification discussion by some examples.

Keywords: classification discussion, thinking, method, principle, reason

目 录

0 引言 4

1　分类讨论思想方法 4

2 分类讨论的原则 4

3 引起分类讨论的原因 4

3.1 由数学概念引起的分类讨论 4

3.2 由参数引起的分类讨论 7

3.3 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 9

3.4 由点、线、面位置关系引起的分类讨论 11

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

０ 引言

分类讨论思想方法是在面临不定因素以及无法统一结论的情况下所采用的一种非常重要的数学思想方法，在数学解题中有着广泛的应用．目前关于分类讨论思想方法方面的文献不少，但是对于解题过程中引起分类讨论的原因，适合分类讨论的问题类型以及分类讨论过程中需要注意的问题进行较为系统地归纳、研究仍是很有必要的，本文主要通过具体实例对分类讨论在解题中的应用做尝试性的探索与研究．

1　分类讨论思想方法

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．分类讨论，是一种重要的数学思想方法，同时又是一种重要的解题策略．

使用分类讨论思想方法一般按下列步骤完成：

（1）确定分类讨论的对象及其变化范围；

（2）确定分类标准；

（3）逐层逐级进行讨论得出结果；

（4）归纳结论．

2 分类讨论的原则

在对所给问题进行分类讨论时，一般应遵循以下的原则：

（1）同一性原则，分类讨论应该按照同一标准进行，即每次分类讨论不能同时使用几个不同的分类标准．

（2）互斥性原则，分类后的每一个子项应该互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．

（3）相称性原则，分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等．

（4）层次性原则，分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次，多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，不同层次的子项不能混为一谈．

3 引起分类讨论的原因

3.1 由数学概念引起的分类讨论

数学中的一些数学概念本身就是分类定义的，例如绝对值的定义，分段函数的定义等．当我们遇到去绝对值的问题时，我们需要考虑绝对值中的数或者公式的正负性，即对还是的问题进行讨论；在分段函数中，对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则等．在讨论和这些概念相关的问题时，应根据定义在不同的范围内分类进行讨论．

例1 解不等式

分析 根据绝对值的定义，首先去绝对值，去绝对值应分为与两种情况讨论，去绝对值应分为与两种情况讨论，综合两种分类本题将实数集划分为三段：，，．

解 当时，由

，

得

，

，

与矛盾．

　　当时，由

，

得

，

所以

．

　　当时，由

，

得

，

所以

．

综上，可得原不等式的解集为．

例2 求函数

的导数．

分析 分段函数在定义域的不同区间段内其函数表达式不同，函数具有不同的性质，由于为分段函数，故应在不同的区间上对其可导性以及导数进行分类讨论．首先讨论函数在区间内的导数，其次讨论函数在分界点处的导数．

解 当时，，有

．

当时，，有

．

当时，，有

．

下面对分界点进行讨论：当时，

，

．

由于，故在处可导且

．

同理，当时，

，

，

由于，故在处不可导，

综上所述，函数的导数为

3.2 由参数引起的分类讨论

参数又叫参变量，显而易见，参数是一个变量．含参数问题是我们遇到的最常见的问题，如含参数的方程（组）、三角函数、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法，因此对于这类问题，我们常常要对参数进行分类讨论．

例3 当取何值时，元线性方程组

有解？有多少解？

分析 在含有参数的方程（组）中，往往由于参数的不同会导致方程（组）的解存在变化，因此就需要对其参数进行讨论．

解 设系数矩阵为，即

，

则矩阵的行列式为

　　　　　　　　　　　．

下面由矩阵的行列式是否为零，对其参数进行分类讨论：

①若，且，则，从而由克莱姆法则，不管为何值，方程组有唯一解；②若（包括）时，则，方程组有解当且仅当，此时方程组有无穷多解；③若，则，方程组有解当且仅当，此时，方程组有无穷多解；④若，则

．

，方程组有解当且仅当，方程组有无穷多解．

例4 化简

解析 由于参数的取值不同，可导致使用不同的诱导公式，因此，需对参数分为奇数、偶数两类情况，然后再使用诱导公式化简．

解 （1）当为奇数时，即时，

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