多目标规划模型的建立与求解

论文总字数：6273字

摘 要

在许多实际问题中，判断一个方案的好坏标准往往不止一个，例如：设计一个导弹，不仅要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高.在把飞机外形设计包括在内的飞机最优设计问题中，既要求总质量最轻，又要求在耗油量一定的情况下，射程最远.确定一个橡胶配方时，同时还考察强力、硬度、变形、伸长等多个指标.这类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题.近几十年来，多目标规划获得了迅速的发展和广泛的应用.

本文将通过种植方案的优化，阐述建立多目标规划模型的方法，并简要介绍多目标规划的基本概念和求解方法.

关键词：多目标规划；最优化；模型

Abstract：In many practical problems, it is often more than one, for example, the design of a missile, which has the longest range, the most fuel saving, and the highest accuracy. In the design of aircraft configuration, including aircraft, the optimal design problem requires not only total quality of the light, also called in a given amount of fuel consumption, the longest range. When determining a rubber formula, it is often to study the strength, hardness, deformation, elongation and other indicators. This kind of problem is referred to as the multi-objective optimization problem or multi-objective programming problem. In recent decades, multi objective programming has been developed rapidly and widely used.

In this paper, we will introduce the method of multi objective programming model, and introduce the basic concept and solution method of multi-objective programming.

Keywords：Multi objective programming, optimization, model

目 录

1 前言 4

2 多目标规划的基本概念 4

3 多目标规划问题解法简介 5

3．1 主要目标法 6

3．2 分层序列法 6

3．3 线性加权求合法 7

3．4 理想点法 7

4 以种植方案为例 8

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 前言

在一个多元化的经济社会中，结果往往不是一个简单的优化，而是需要使整个系统达到一个平衡，从而使整体效用最大化或最大化收益.这就涉及多个目标需实现协调，在这种情形下，一味的追求单一目标最大化已经失去其具体意义.因此，我们需要考虑到多个目标的实现，利用多目标规划方法来实现最优效用，得到更好的优化结果.由此，本文主要简要介绍多目标规划的基本概念，阐述建立多目标规划模型的方法及其求解方法.

2 多目标规划的基本概念

一般多目标规划问题都可以写成以下的形式：

（1.1.1）

其中

称为问题（1.1.1）的可行集或容许集，称为问题（1.1.1）的可行解或容许解.

定义 1 设，若对于及，均有，则称为问题（1.1.1）的绝对最优解.而称为绝对最优值.

例如：若，则问题

（1.1.2）

的绝对最优解为，绝对最优值为.

若，则问题

的绝对最优解为，绝对最优值为.

若，则问题（1.1.2）没有绝对最优解，或者说它的绝对最优解不存在.因此，我们要寻找另外的“解”.为此，我们引入如下符号：

1. 符号lt;

令,.

等价于.

1. 符号

等价于，至少存在某个，

.

1. 符号

等价于.

定义 2 设，若不存在，满足，则称为问题（1.1.1）的有效解或非裂解.

定义 3 设，若不存在，满足，则称为问题（1.1.1）的弱有效解或弱非裂解.

我们用表示问题（1.1.1）的所有有效解组成的集合，称为有效解集.用表示问题（1.1.1）所有弱有效解组成的集合，称为弱有效解集.易见，，意味着找不到一个可行解，使的每一个目标值都不比的相应目标值坏，而且至少有一个目标值比的相应目标值好.即当时，在“”意义下，已找不到另一个可修正的可行解了.图1-1说明了的几何意义.

3 多目标规划问题解法简介

多目标规划问题的解法大体可以分为两类：直接解法和间接解法.到目前位置，关于直接解法的成果还不多，常用的多为间接解法.所谓间接解法是指：根据问题的特征和实际背景，想办法将多目标优化问题转变为单目标优化问题，由此获得满意解的方法.下面介绍几种常用的方法，更详细的介绍可参看参考文献[1，2，3].

3．1 主要目标法

在多目标优化问题（1.1.1）中，若能从个目标中，确定一个目标为主要目标，比如,而把其余目标作为次要目标，再根据实际情况，确定适当的界限值，这样就能够把次要目标作为约束来处理，则问题（1.1.1）可转化为求解如下的非线性规划问题：

（1.1.3）

令，其中界限值取为

关于问题（1.1.3)的最优解与问题（1.1.1）的解的关系有以下结果：

定理 设为问题（1.1.3)的最优解，则必定是问题（1.1.1）的弱有效解，即;若为严格凸函数，为凸集，则.

因而，用主要目标法求得的解必定是多目标优化问题的弱有效解或有效解.

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