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目 录
1 引言 6
2 关于素理想、极大理想、左T-幂零理想 6
命题2.1 6
推论2.2 7
命题2.3 7
命题2.4 7
命题2.5 7
命题2.6 7
命题2.7 8
命题2.8 8
命题2.9 8
3.关于二素理想、半交换理想、根对称理想 8
命题3.1 8
命题3.2 9
命题3.3 9
命题3.4 9
命题3.5 9
定义3.6 10
命题3.7 10
定义3.8 10
命题3.9 10
定义3.10 10
命题3.11 11
定义3.12 11
命题3.13 11
参考文献 11
致谢 12
环与其商环的若干类理想
管正雄
,China
(空1行,五号)
Abstract:In this note, we investigate the relationships between ideals of an ring and its quotient ring R/I. We show that if and , then is a 2-primal ideal(strongly prime ideal, left T-nilpotent ideal, radically-symmetric ideal) of if and only if is a 2-primal ideal(strongly prime ideal, left T-nilpotent ideal, radically-symmetric ideal) of .
Key words:quotient ring; 2-primal ideal; strongly prime ideal; left T-nilpotent ideal; radically-symmetric ideal.
1 引言
本文讨论的环都是一般环, 即未必有单位元. 文献[1]中证明, 若是环的一个理想, 则的任一子环都具有的形式, 其中是的含有的子环; 对于的含有的两个不同子环,,,分别是两个不同子环. 并且, 当且仅当是的理想时,是的理想. 本文将此推论扩展, 讨论一个环的理想与其商环的其它若干类理想之间的关系。
文献[2]给出了完全素理想, 半素理想, 完全半素理想和二素理想的定义. 称环的一个理想为的完全素理想, 如果对任意, 由可以推出或者. 称的一个理想为的半素理想, 如果对任意, 由可以推出. 称的一个理想为的二素理想, 如果 其中是环的素根(即的所以素理想之交),是的所有幂零元的集合. 称环的一个理想为的完全半素理想, 如果对任意, 由可以推出. 文献[3]称为的左(右)-幂零理想, 如果是的左(右)理想, 并且对任意元素序列, 存在一个正整数使得. 文献[4]称环的一个理想为强素理想, 如果为素理想, 并且是诣零半单的(即中无非零幂零元理想). 文献[5]称环的理想幂零理想, 若存在一个正整数使得. 文献[6]引进了半交换理想和根对称理想的概念. 称环的一个理想为半交换理想,如果为半交换理想,即对任意,由可以推出;称环的一个理想为根对称理想,如果为对称环,其中表示的包含的所有素理想的之交. Lambek[7]称环的一个理想为对称理想,如果是对称环,即对任意,由可以推出.
2 关于素理想、极大理想、左T-幂零理想
命题2.1
设是一个环, 且, 则是的左(右)理想当且仅当是的左(右)理想.
证明:必要性. 设 则. 由于是的左(右)理想, 所以有(). 因为, (),这推出,(),所以是的左(右)理想.
充分性. 设 则. 由于是的左(右)理想, 所以有(,(). 因为, (),这推出,(),所以是的左(右)理想.
推论2.2
设是一个环, 且, 则是的理想当且仅当是的理想.
命题2.3
设是一个环,且,, 则是的完全素理想当且仅当是的完全素理想.
证明:必要性. 设.由于, 这推出. 因为是的完全素理想, 按照定义有或者, 因此有或者, 所以是的完全素理想.
充分性. 设. 由推出. 因为是的完全素理想, 依定义有或者 故可得或者. 所以是的完全素理想.
命题2.4
设是一个环, 且,则是的素理想当且仅当是的素理想.
证明:必要性. 设. 由知. 又因为是的素理想, 有或者. 所以或者. 这就推出是的素理想.
充分性. 设. 由知. 又因为是的素理想, 有或者. 所以或者. 这就推出是的素理想.
命题2.5
设是一个环, 且,则是的完全半素理想当且仅当是的完全半素理想.
证明:必要性. 设. 由可得. 又因为是的完全半素理想, 故有. 所以是的完全半素理想.
充分性. 设. 由可得. 又因为是的完全半素理想, 故有. 所以是的完全半素理想.
命题2.6
设是一个环, 且,则是的半素理想当且仅当是的半素理想.
证明:必要性. 设, . 所以. 由于, 可得. 又因为是的半素理想, 故有. 所以是的半素理想.
充分性. 设, . 所以. 由于, 可得. 又因为是的半素理想, 故有. 所以是的半素理想.
命题2.7
设是一个环, 且,则是的极大理想当且仅当是的极大理想.
证明:必要性. 设是的理想,并且. 由推论2.2知,是的理想,并且. 因为是的极大理想,所以由知. 故,是的极大理想.
充分性. 设是的理想,并且. 由推论2.2知,是的理想,并且. 因为是的极大理想,所以由知. 故,是的极大理想.
命题2.8
设是一个环, 且,则是的幂零理想当且仅当是的幂零理想.
证明:必要性. 设,. 因为是的幂零理想, 对于任意, 都存在, 使得. 因而有, 所以是的幂零理想.
充分性. 设, 所以. 因为是的幂零理想, 对于任意, 都存在, 使得.由于,,所以是的幂零理想.
命题2.9
设是一个环, 且,则是的左(右)T-幂零理想当且仅当是的左(右)T-幂零理想.
证明:必要性. 设是中任意元素序列,则是中的一个元素序列. 由于是左T-幂零的,所以存在一个正整数使得. 于是,对上面中的元素序列,有相同的使得.所以是的左T-幂零理想.
充分性. 对于中的任意一个序列. ,可得中的一个元素序列. 由于是左T-幂零的,所以存在一个正整数使得. 于是,对前面面中的元素序列,有相同的使得,.所以是左T-幂零的,即是的左T-幂零理想.
对于右T-幂零理想的情况类似可证.
3.关于二素理想、半交换理想、根对称理想
命题3.1
设是一个环, 且,则是的强素理想当且仅当是的强素理想.
证明:必要性. 因为是的强素理想,所以是诣零半单的. 又因为是的素理想,由命题2.4可知是的素理想. 故是的强素理想.
充分性. 因为是的强素理想,所以是诣零半单的. 又因为是的素理想,由命题2.4可知是的素理想. 故是的强素理想.
命题3.2
设是一个环, 且,则是的二素理想当且仅当是的二素理想.
证明:必要性. 同构于. 因为是的二素理想, 有. 得,故是的二素理想.
充分性. 由于同构于. 因为是的二素理想, 有. 得,故是的二素理想.
命题3.3
设是一个环,且,则是的对称理想当且仅当是的理想.
证明:必要性. 设,则有, 有. 由于是的对称理想,推出,于是有. 所以是的对称理想.
充分性. 设,因为,而是的对称理想,由可以推出,所以有. 所以是的对称理想.
命题3.4
设是一个环,且,则是的半交换理想当且仅当是的半交换理想.
证明:必要性. 设任意. 故, 有. 由于是的半交换理想, 可推出. 由, 得.是的半交换理想.
充分性. 设任意. 故, 有. 由于是的半交换理想, 可推出. 由, 得.是的半交换理想.
命题3.5
设是一个环,且,则是的根对称理想当且仅当是的根对称理想.
证明:必要性. 设. 由[6]中的引理2.12是的根对称理想, 所以理想具有半交换性质,可推出. 有,这样就推出也具有半交换性质, 由[6]中的命题1.6知是的根对称理想.
充分性. 设. 则. 由[6]中的引理2.12是的根对称理想具有半交换性质, 由可推出. 有也具有半交换性质, 由[6]中的命题1.6可知,是的根对称理想.
定义3.6
称环的理想为弱2-素理想,如果是弱2-素环,即,其中是环的局部幂零根(见[5]).
命题3.7
设是一个环,且,则是的弱2-素理想当且仅当是的弱2-素理想.
证明:必要性. 由于同构于, 故有有. 因为是的弱2-素理想, 有. 这就推出, 故是的弱2-素理想.
充分性. 由于同构于, 故有. 因为是的弱2-素理想, 有. 这就推出, 故是的弱2-素理想.
定义3.8
称环的理想为-理想,如果是-环,即,其中是环的上诣零根(即的所有诣零理想的交).
命题3.9
设是一个环,且,则是的-理想当且仅当是的-理想.
证明:必要性. 因为是的-理想, 有. 由于同构于, 故有, 即是的-理想.
充分性. 设是的-理想,则有. 由于同构于, 故有, 是的-理想.
定义3.10
称环的理想为弱半交换理想,如果是弱半交换环, 即对于,由 可以推出,对于任意的,都存在正整数使得.
命题3.11
设是一个环,且,则是的弱半交换理想当且仅当是的弱半交换理想.
证明:必要性. 设. 于是有. 由于是的弱半交换理想,对于任意的, 存在正整数使得. 因此有. 这样,对于任意的,知有使得,故是的弱半交换理想.
充分性. 设. 则. 由于是的弱半交换理想,对于任意的, 存在正整数使得. 这说明对于任意的, 有使得. 故是的弱半交换理想.
定义3.12
称环的理想为弱对称理想,如果是弱对称环,即对于任意的,如果存在一个正整数使得,则必存在一个正整数使得.
命题3.13
设是一个环,且, 则是的弱对称理想当且仅当是的弱对称理想.
证明:必要性. 设,. 于是有,. 由是的弱对称理想知存在一个正整, 使得. . 这推出. 故是的弱对称理想.
充分性. 设任意,,则. 由是的弱对称理想知存在一个正整, 使得. 于是有. 故是的弱对称理想.
参考文献
1.吴品三. 近世代数[M]. 北京: 人民教育出版社, 1980.
2.Birkenmeier G F, Heatherly H E, Lee E K. Completely prime ideals and associated radicals[J], Ring theory (Granville, OH, 1992), 102-129, World Sci. Publ., River
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