论文总字数：15469字

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摘要 1

Abstract 2

1 引言 3

2 半显式守恒差分格式 4

3 差分格式的局部截断误差 5

4 离散意义下的质量守恒和能量守恒 8

4.1质量守恒律 10

4.2能量守恒律 13

5 三对角方程组的求解 16

6 数值试验 17

7 小结 22

参考文献 22

致谢 25

耦合非线性Schrödinger方程的

一个新的半显式守恒差分格式

张雯

，China

Abstract: In this paper, by using Crank-Nicolson/leap-frog method to discrete the linear/nonlinear terms of the nonlinear coupled Schrödinger equation, a new semi-explicit finite difference scheme of the nonlinear coupled Schrödinger equations is proposed. By using the Taylor’s expansion, the local truncation error of the new scheme is proved to be of second-order in both space direction and the time direction. By using the standard energy method and defining a new energy functional, it is proved that the new scheme preserves well the total mass and energy in the discrete level. In computing the nonlinear coupled Schrödinger equation at each time step, two tri-diagonal systems of linear algebraic equations need to be solved. In this paper, we adopt the Thomas Method to solve efficiently the tri-diagonal systems of linear algebraic equations at each time step, this makes the new scheme efficient in the practical computation. Numerical results are reported to test the accuracy and conservative properties, and simulate the collision of solitary waves.

Key words: Nonlinear coupled Schrödinger equation, Semi-explicit finite difference scheme, Local truncation error, Conservation laws, Numerical example

1 引言

在物理学的非线性光学、凝聚态物理、等离子体物理等领域，非线性耦合Schrödinger方程都有非常广泛的应用[1-2]。本文我们研究如下非线性耦合Schrödinger方程的初边值问题[3]：

，， (1.1)

，， (1.2)

， (1.3)

， (1.4)

其中，为未知复值函数，，为已知光滑复值函数，是纯虚数单位，为已知实常数。

就我们所知，已有大量文献对非线性Schrödinger方程做了研究[4-15]，大部分非线性Schrödinger方程的数值方法经简单修改都可以推广到对非线性耦合Schrödinger方程的数值求解，但对算法的误差估计和稳定性分析等会因为耦合项的存在而产生很多新的困难。除此之外，也有很多文献对非线性耦合Schrödinger方程有关孤立波的碰撞进行了详细研究[16-31]。如，M .S .Ismail 等人对非线性耦合Schrödinger方程先后提出了几个具有二阶精度的线性和非线性隐式有限差分格式、四阶高精度有限差分格式和Galerkin有限元格式，并运用Von-Neumann方法对算法的稳定性进行了分析[16-19]。徐岩和舒其望运用局部间断有限元方法对耦合非线性Schrödinger方程进行了数值求解[20]。Manakov S. V. 运用逆散射变换法对耦合非线性Schrödinger方程进行了半解析研究[21]，Takayuki Tsuchida和Yi jinag Chen等在此基础上进一步的研究了耦合非线性Schrödinger方程的逆散射法[22-23]，Christov和Sonnier等人构造了一个两层守恒差分格式并对孤立波的碰撞进行了数值模拟[24-25]。然而，以上算法大多是非线性隐式的，实际计算中不可避免地需要迭代，而且都没有给出格式严格的收敛性分析。为此，王廷春等人对[24-25]中的格式建立了严格的误差估计，并提出和分析了一个高效的迭代算法，并进一步提出和分析了一个具有二阶精度的线性化守恒差分格式[26]。同年，王廷春、张鲁明和陈芳启还对耦合非线性Schrödinger方程构造了非耦合的线性化差分格式[27]，并运用能量方法建立了格式的最优误差估计。王丽娟在其硕士学位论文中对非线性耦合Schrödinger方程构造了一个非线性隐式差分格式和一个线性化三层十一点隐式差分格式，分析了格式的守恒性、稳定性、收敛性[29]。杨磊基于二阶时间分裂和有限差分法对非线性耦合Schrödinger方程设计了一个高效的数值格式并对孤立波的弹性碰撞和非弹性碰撞进行了数值模拟[30]。谢树森等人对具有耗散的非线性耦合Schrödinger方程提出了一个有限差分格式并证明其在时空两个方向都具有二阶精度[31]。然而，关于非线性耦合Schrödinger方程的半显式守恒差分格式尚没有文献进行研究。

基于以上分析，本文将对非线性耦合Schrödinger方程的线性项和非线性项分别通过Crank-Nicolson格式和蛙跳格式进行离散，从而构造一个新的半显式有限差分格式，运用Taylor展开证明该格式的局部截断误差在时间和空间方向都是二阶的，运用能量方法并定义一个新型能量泛函证明新格式仍然在离散意义下满足总质量和总能量守恒。

本论文其它部分安排如下：在第2节中，我们给出非线性耦合Schrödinger方程的一个半显式有限差分格式；在第3节中，我们对新格式进行Taylor展开详细分析了格式的局部截断误差。在第4节中，我们运用能量方法定义一个新的能量泛函来证明新格式在离散意义下保持原问题的总质量和总能量守恒；在第5节中，我们运用追赶法对半显式守恒差分格式在每个时间步进行快速求解。在第6节中，我们通过几个具体算例来模拟孤波碰撞的现象并验证格式的精度和守恒性。在第7节中，我们对整篇文章做了一个简单总结。