二维热传导方程的紧致差分计算-毕业论文网

论文总字数：17268字

目录

摘要 I

Abstract II

1. 绪论 1

1.1 热传导方程简介 1

1.2 数值计算 1

1.3 本文研究内容 1

2. 线性代数方程组的求解 2

2.1 一维问题的牛顿迭代法 2

2.2 多维问题的牛顿迭代法 3

3. 有限差分方法 5

3.1 向前差分法 5

3.2 向后差分法 8

3.3 Crank － Nicolson 法 9

3.4 Richardson法 10

4. 紧致差分方法 11

4.1 紧致差分格式介绍 11

4.2 误差对比 15

5. 二维热传导方程的数值计算 16

5.1 中心差分法 17

5.2 紧致差分法 18

5.3 隐格式法 18

5.4 ADI法 19

5.5 TVDRK3法 20

6. 数值试验 21

7. 总结 23

参考文献： 23

附录I 24

致谢 27

二维热传导方程的紧致差分计算

谢孝强

，China

Abstract：Heat equation is a very common kind of the partial differential equations. The numerical simulation of the heat equation can let its characteristics more intuitive to understanding, which is beneficial to the research in the diffusion of thermal energy. Further, the essentials of diffusion of heat equation can be used to simulate the change in the concentration of atmospheric pollutant, which is contribute to the prevention and control of air pollutants, reducing the harm and loss caused by air pollution.In addition, the heat equation is often used to test the performance and rationality of the numerical calculation method. Compact finite difference method is one of the numerical calculation methods. Comparing to general center difference method, the accuracy of the compact finite difference method is much higher, and the requirement of the grid node number is not too much and the complexity of the calculation has not increased significantly. In this paper, the two-dimensional heat equation is used as an example to verify the high accuracy of the four-order compact finite difference scheme for the purpose of being familiar with, further understanding and master the four-order compact finite difference method. In the numerical experiments of two-dimensional heat equation, we use central difference scheme and compact finite difference scheme in space, while in time, we use forward difference scheme (TVDRK3, and ADI) and backward difference scheme (implicit difference scheme). The results show that the accuracy of the compact finite difference method is high under the same requirement in the number of the grid nodes with other numerical scheme, whether it is the forward difference method or the backward difference method in time.

Key words：2D heat equation ; Compact finite difference method ; Numerical experiment

1. 绪论

1.1 热传导方程简介

热传导方程是偏微分方程中的一类十分重要的方程，也是抛物线型偏微分方程中最简单的例子，它用于描述一个区域内温度如何随时间变化。因为热量是从高温处向低温处传播的，所以在不考虑热源的情况下，热传导方程的解具有将初始温度逐渐平滑化的特性。通过研究热量的扩散，可以类比其他物质的扩散，比如热传导方程也可以作为大气污染物扩散的模型。热传导方程也是用于验证数值计算方法合理性的基本数学模型之一。

1.2 数值计算

偏微分方程是数学方程的一个庞大且重要的分支，它用与描述某一个函数与其偏导数之间的关系，偏微分方程的解就是一种符合这种关系的函数。但是许多偏微分方程是无法通过微积分方法求出解析解的。因此为了研究其解的性质，数学工作者开始寻找新的方法。随着时间的流逝，数学家们研究出来数值计算的方法，用数值解模拟解析解，从而研究偏微分方程解的性质。

数值计算是利用某些计算方法得到的离散的解，常见的方法如有限差分法，有限元方法，谱方法等等。比如文献[1]中沈金松用交错网格有限差分法计算三维频率域电磁响应，文献[2]中罗柏华用高阶精度紧致差分方法计算波动方程。这些离散的解是对解析解的模拟，显然，数值解的精确性不如解析解，但是在一定的误差范围内是可以看作解析解进行研究的。因此，数值计算就需要注重计算的稳定性，控制误差的范围。在提高数值计算精度的同时，计算量往往会成倍增加，这时利用计算机的高效计算速率，就可以处理更多更复杂的偏微分方程相关的数学模型。

数值解法是求解偏微分方程的主要近似解法，基本思想是把连续的问题离散化，用差分代替微分，然后再用代数方法将原方程化为有限的代数方程组，通过解代数方程组求出离散解。这个过程一般分为两个步骤：第一步：将求解区域网格剖分，用有限个网格点代替原来的连续区域；第二步：将偏微分方程离散化，得到代数方程组，再求解方程组就能得到我们要的数值解了。

1.3 本文的研究内容

鉴于有限差分法格式简单，计算方便，易于实现编程，本文选择有限差分法进行讨论。有限差分法分为很多种类，比如早期传统的向前差分法,向后差分法，Crank — Nicolson法，Richardson法，在文献[3]中，比较详细地介绍了这些方法。通过文献[3]可以认识到，它们稳定性和精度较低，但是这些方法的理论已经比较成熟，在解决某些问题时能展现出很好的效果。而且之后发展的方法也是在这些方法的基础上进行的。像紧致差分法[4]就是发展之后的较好的方法。紧致差分法在相同计算复杂度的条件下，拥有更高的精度。因此本文主要介绍了该方法。紧致差分法是空间上的改进方法，而在时间上的改进方法有隐格式法[5]，ADI法[6]，TVDRK3法[7]。文献[5]证明了隐格式方法拥有良好的稳定性和精度，但是计算复杂度较高。从文献[6]中可以认识到ADI法对向前差分法进行改进，将原来的一步分成两步，减少了计算的复杂程度，但是会影响到整体的稳定性。而TVDRK3法进一步地降低了计算程度，在文献[7]中表明稳定性是比较好的。本文以热传导方程为例，在时间上用了三种差分方法，每一种方法分别用中心差分法和紧致差分法进行数值试验，以此验证紧致差分法的高精度特性。

本文结构组成：第二部分介绍线性代数方程组的求解方法，第三部分介绍传统的有限差分法，第四部分介绍紧致差分法，第五部分介绍二维热传导方程的数值解法，第六部分进行数值试验，第七部分是结论。

2. 线性代数方程（组）的求解——牛顿迭代法

因为有限差分法用差分代替微分，将原方程离散成代数方程组，所以为了求数值解，我们需要先了解求解代数方程组的方法。而且后续数值试验中求解隐格式时需要使用这些方法。

求解代数方程组的方法有很多，因为本文在数值试验中只使用了一种方法，即牛顿迭代法，所以只介绍牛顿迭代法。其他一些方法并没有在本文中使用，所以放在了附录I中，想了解一些其他方法可以参考附录I或者文献[8]。

2.1 一维问题的牛顿迭代法

为了求解方程的根，先假设是的根，选取任意一个作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为：