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摘 要

二维黑磷烯作为一种新的类石墨烯材料已经成为了凝聚态物理研究的热点。层数的变化将会引起带隙的较大变化，现在已经实验室已经可以获得1.3eV的单层黑磷烯，带隙会伴随着层数的变大而变小。双层黑磷烯是最简单的多层黑磷烯，是研究其他多层黑磷烯的基础。本文利用第一性原理，讨论不同堆垛黑磷烯，比较其几何结构，能带关系，发现镜面堆垛结构能量最低，结构最稳定，而AB堆垛的能隙最大。

关键词：黑磷烯 能带结构

Abstract：Two-dimensional black phosphonene has become a hot spot in condensed matter physics as a new graphene-like material. The change in the number of layers will cause a large change in the band gap. Now, a single layer of black phosphonene of 1.3 eV has been obtained in the laboratory, and the band gap becomes smaller as the number of layers becomes larger. Two-dimensional black phosphonene is the simplest multilayer black phosphorene, the properties of other multilayer black phosphorene can be deduced from BLBP. With first principle, we investigate four different BLBP with different geometry. We find that BLBP with mirror symmetry has the lowest energy with most stable geometry structure, while AB stack has the biggest energy gap.

Keywords: Black phosphorene, energy band

目 录

1 前言 4

2 计算原理 4

2.1 薛定谔（Schrödinger）方程 5

2.2密度泛函理论 6

3 结果与讨论 7

3.1黑磷烯的晶体结构 7

3.2计算模型和方法 7

3.3计算结果 8

结 论 11

参 考 文 献 12

致 谢 13

前言

关于新型半导体材料的研究在当代凝聚态物理和高新技术发展中起着十分重要的作用。二维材料是指电子仅可在两个维度的非纳米尺度(1-100nm)上自由运动(平面运动)的材料,如纳米薄膜、超晶格、量子阱等^[1]。2004年英国科学家成功制造了石墨烯，由于这个发现，二维材料成功走进科学家们的视野并最终引起了业内的广泛关注。二维材料的许多性质都远强于块体材料，其中石墨烯是目前研究最深入的一种。

石墨烯具有优异的电学和光学性能，但零带隙结构限制了其在器件中的使用。2014年，复旦大学 的张远 波课题组首先制备出仅有几纳米厚的黑 磷 烯，由于其不同常的电子特性而获得了科学家们的广泛关注^[2]。与石墨类似，黑磷的结构使其可以制备二维黑磷晶体。

黑磷的外观，结构和性质皆与石墨相似。它呈现黑色，片状，导电性不逊色于石墨烯，平面具有褶皱蜂窝状^[3]。黑磷的半导体能隙是直接能隙，这个特性让黑磷成为未来光电器件(例如光电传感器)的一个备选材料。其能隙还可藉由在硅基板上堆栈的黑磷层数来进行调节，使其能吸收可见光范围以及通讯用红外线范围的波长。加上黑磷电子迁移速度快，有望在光电领域得到广泛应用。黑磷的能带结构与它的层数有关，它可以通过改变带隙轻易的满足不同波长的非线性特性需求。

虽然目前关于黑磷的制备与运用还存在着许多的问题，但是随着越来越多的科学家以及科研机构的不断研究，技术水平将不断完善。目前各国研究表明，磷烯材料在光电子器件、太阳能电池等领域有极大应用潜力，尤其是在光电领域有望超越石墨烯。本文将首先向大家介绍黑磷烯的各种特性与几何结构，之后利用第一性原理、量子力学与密度泛函理论对双层黑磷烯在发生平移的四种情况下的能带结构进行研究。

计算原理

在任何一个系统中,存在第一性原理,这是一个最基本的命题或假设,不能被省略,也不能被违反。亚里士多德将第一性原理定义为“事物被认知的第一根本”^[4]。正是受亚里士多德这个想法的影响，牛顿最终发现了万有引力，达尔文发现了进化论等等。

量子力学的第‌‌‌一性原理是指电子体系的薛定谔方程，但是光有这个‌‌‌‌‌‌‌方程只能解决一部分问题，剩下的都需要做出各种各样的近似。但即使采用了各种近似，仍然只能通过大量的计算才能从理论上得到材料的能带结构或电子结构。想要解决这个问题，既需要理论方法上的不断进步，也需要计算机技术的不断发展。在理论上最重要的无疑是密度泛函理论和以此为基础的局域密度近似方法。现代，得益于计算机技术的长足进步，通过材料能带结构的从头计算与第一性原理计算，我们已经可以对材料的性质进行预言，而不是像过去那样只能对试验结果给出解释。

薛定谔（Schrödinger）方程

薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是波动力学的基本方程，也是量子力学的五个基本假设之一。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合而建立起来的二阶偏微分方程,它可以用来描述微观粒子的运动^[5]。

研究薛定谔方程的方法是找到波函数的所有可能的解。薛定谔方程最一般的形式可以这样写：

（2.1.1）

波函数是薛定谔方程的基本变量。从多函数体系的哈密顿量H不难看出，求解薛定谔方程的一大困难是电子运动与核运动的耦合。动的影响，所以我们可以把核运动看作微扰。另一方面由于受到电子平均势场的作用，我们可以把电子运动和核运动看作两个不同的独立运动。通过这种绝热近似的方法，我们可以通过分离变量将薛定谔方程分解为电子的运动方程（2.1.2）和核的运动方程（2.1.3）

经过绝热近似处理的薛定谔方程用来求解体系的电子运动方程仍然存在很大的问题，主要原因就是求解电子间的库仑作用需要用到多中心多电子积分，为了解决这‌‌‌‌‌个问题，我们采用了单电子近，但是通过这种方法我们会发现众多电子的波函数总是相互耦合在一起。针对这个问题，Hartree提出过Hartree方程：

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