电磁理论中一些“冷”公式的研究

论文总字数：8293字

摘 要

关键词: 势函数；电磁力；广义毕奥-萨伐尔定律；电磁动量

Abstract：Some unusual formulas and representations are sought within the scope of electromagnetic theory. Some examples，such as the new method of calculating electromagnetic force，the generalized Biot-Savart law，the electromagnetic momentum，the hidden momentum， etc.，are selected，the specific deduction process of the new formula or equation is given，the scope of application is pointed out，and its physical significance is explored.

Key words：Potential function; Electromagnetic force; Generalized Biot-Savart law; Electromagnetic momentum

目 录

0引言....................................................4

1 电磁力的计算公式 4

2 广义毕-萨定律与库仑定律 9

3电磁场动量的表示 11

3.1 稳恒场的电磁动量 12

3.2 时变场的电磁动量 13

3.3 隐藏动量 13

4 应用举例 14

5结束语 16

参考文献 17

致谢 18

0 引言

电磁理论中有大量的方程和公式，如：Maxwell方程组(Gauss散度定理、Ampere环路定理、Faraday电磁感应定律等)；电磁场波动方程，Helmholtz方程，d"Alembert方程；静电场与静磁场中势函数的Poisson方程，Laplace方程，Green函数；介质状态方程；Lorentz力公式；Fresnel公式；推迟势，Lienard-wiechert势；相对论Doppler效应，光行差公式； Einstein质能关系；辐射阻尼力；电荷守恒定律，能量守恒定律，动量守恒定律；边值关系，色散关系；电磁场中带电粒子的Lagrange量与Hamiltonian量等等。这些方程与公式在标准的教科书中是常见的。本文所述电磁理论中的一些“冷”公式是指不常见的公式，但又出现在一些现代文献中，给读者耳目一新的感觉。选择本课题作为毕业论文选题，对于巩固已学相关知识、拓展视界、锻炼开展科学研究的初步能力是有益的。

本文所述电磁理论中的一些“冷”公式是指不常见的公式，但又出现在一些现代文献中。本文试图就此问题开展研究，并努力在Maxwell电磁理论的框架下给予推导，阐述其物理意义，表明用途，给出应用实例。

1 电磁力的计算公式

在电磁理论中，一方面人们常常是由电磁力定义电磁场矢量，例如，电场强度的定义，用安培力定义磁感应强度等；另方面，同样地由电磁能定义电标势，例如，。由此不难联想，倒过来则可由电磁场量直接计算电磁力，如洛伦兹力；或者根据虚功原理由电磁能计算电磁力，如。但是，这些运算都涉及矢量运算，一些情况下不总都是方便的，甚至有时求不出答案。

鉴于势函数方法总比场函数方法方便的想法，有必要寻求用电磁势计算电磁力的途径。一来利用电磁势计算电磁力有独到的方便之处；二来通过电磁力的计算还可揭示电磁势某些更明确的物理含义，甚至对电磁力提供一些新看法，给出一些计算电磁力的新颖表达式。

1.1 几种势函数

对于稳恒电场，因为，可引入电标势

(1)

满足标量泊松方程。

对于稳恒磁场，因为，故可引入磁矢势

(2)

满足矢量泊松方程。

(1)式、(2)式内容是电动力学中常见的一般关系，是熟悉的。现在思考另一套在特殊场合下适用的标势、矢势函数。

对于无源区域，电荷密度，高斯定理成为，由此可引入电矢势

(3)

满足拉普拉斯方程。

同样，对于电流，且的单连通区域，静磁学中安培环路定理成为，可引入磁标势

(4)

满足拉普拉斯方程。

1.2 用势函数计算电磁力的公式

为了实现用电磁势计算电磁力的目的，基于电磁力的基本公式，可利用矢量分析恒等关系以及有关公式，推导计算出电磁力与电磁势之间的直接关系，即可以直接得出用电磁势直接计算电磁力的一种方法。分别按照由电场的标势、矢势计算电力，由磁场的标势、矢势计算磁力的情况加以讨论如下。

(Ⅰ)由电标势求电场力

在静电学中，若电荷密度为的带电体处在外电场中，则其所受电场力为

(5)

积分区域V是电荷分布区域。

以(5)式为出发点，设外场在区域V中对应的标势为，即；利用关系，以及奥-高积分变换公式，代入得

(6)

如果改用所有电荷产生的标势来代替，看看结果会如何，若不影响结果，那将给计算带来很大方便。设受力带电体本身电荷产生的标势为，对应的电场是，则总电势，有

(7)

参考(6)式可见，(7)式中前一括号内的项代表着互力项，即外场对电荷的作用；而后一括号内的项，利用类似(6)式的过程，可化为

该项代表着自力项。而在静电学中，体系内的作用力不能“自举”，即上述自势不能产生作用在电荷分布本身上的净力，亦即受力电荷自身电场的标势对产生的力属于内力，无净力效应，故结合(6)式，有

(8)

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