论文总字数：7094字

摘 要

关键词:　导数；函数；单调性；最值；不等式.

Abstract: Derivative is a focus problem of the mathematics test of college entrance examination. In this paper, we systematically induce the problem about derivative in the mathematics test of college entrance examination and introduce the applications of derivative in solving mathematical problems through some examples so as to generalize standard conclusion and methods.

Keywords: the derivative; function; monotonicity; extremum; inequation.

目 录

1引言 4

2 导数的定义 4

3 常见导数问题的类型 5

3.1 切线问题 5

3.2 单调性问题 6

3.3 极(最)值问题 8

3.4 恒成立问题 10

3.5 不等式问题 12

3.6 零点问题 15

结论 19

参考文献 20

致谢 21

1引言

导数作为微积分的核心内容，自其进入高中的数学教材后，在高中的教学过程中一直处于相当重要的地位.一方面，导数是解决高中不等式、函数、数列等诸多问题的重要工具,对于许多初等数学中不易解决或者不能解决的问题，我们通过建立一定的数学模型，把这些问题变成函数的问题，然后再利用导数的性质及函数方面相关的数学思想，使得解决这类问题的思路变得更加拓宽，进而能够帮助我们更加有效的解决这些难题;另一方面,导数也是对极限内容的发展,对函数内容的延深,同时它为我们今后关于研究导数的相关应用打下了坚实的基础,具有一定的承前启后的作用.

而今，与导数相关的问题已成为高考命题的必考点.高考卷中,在选择题这块导数单独成题的可能性较小,一般都是在其他知识的解题中会有所涉及.相反,导数大多会以一个单独的大题直接呈现，且作为压轴题的可能性最大.由此可见,导数在高考试题中的地位是非常重要的.学生要想在高考数学中取得高分,就必须对导数的内容孰能生巧.然而如何能做到孰能生巧,除了大量的做题之外,还要学会归纳总结,这也是本课题的目的所在,相关总结方法可参阅文献[1-2].

本文在主要研究近三年高考卷(包括十八个省、市高考数学卷以及全国卷)的基础上，结合相关的参考文献 ，总结出近三年高考数学中导数问题的常见类型以及解决相应类型的常用方法，增强大家对高考导数的认识度与掌握度,并进一步提高学生们的的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.

2 导数的定义

定义2.1设函数在点的某个邻域内有定义，如果极限

存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为,而导数也为函数在点处关于的变化率.

定义2.2设函数在点的某个右邻域内有定义，如果右极限

存在，则称此极限值为函数在点处的右导数，记为.

右导数与左导数统称为单侧导数.

若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是在点处的左右导数存在且相等.

3 常见导数问题的类型

3.1 切线问题

切线问题是高考数学中导数最基本的问题之一，在近三年的全国高考题中，这一类型的题目在这三年高考导数问题全部类型题目中的比重约为16%（以下说的比重与此处类似）.对此只需要利用导数的定义与几何意义求解便可.

例3.1（2013全国卷）设函数.若曲线和曲线都过点 ,且在点处有公切线.求的值.
解 由题意得

，，，.

而

，，

代入上式得，，，,从而有，，，.

注:切线问题还可参考下面例3.3的(2)、(3)小问.

3.2 单调性问题

函数的单调性问题也是导数在高考中的常见问题，相应的比重约为19%.一般这一类型的题目大多就是利用函数单调性的性质，即在定义域上求其导函数的根，再根据所求结果将函数分成若干个单独的小区间，如果要证明单调性或求单调区间，只需在每个小区间上证明导函数的正负性.当然偶尔也会用到分类讨论或者构造函数的方法，但是都特别简单.

例3.2（2014江西）已知函数.

1. 当时，求的极值；
2. 若函数在区间上单调递增，求参数的取值范围.

解 (1)当时，

，

由得或.
当时，，则函数单调递减；

当时，，则函数单调递增；

当时，.则函数单调递减.

故函数在时取极小值,且值为，在时取极大值,值为.

1. 易求得

，

因为当时，，则由题意可知，当时，有

，

从而

,

则的取值范围为.

例3.3 (2013四川)已知函数

，

(为实数).点是所给函数图像上的两个点，并且.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在点和点处的两切线相互垂直，且有，求的最小值；

（3）若函数在点和点处的两切线相互重合，求参数的范围.

解 (1)当时有

，

则时有，时有；当时有，

由上可得函数的函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）由，两点的切线相互垂直，则有等式，

由于

，

且由可得

，

则有，，此时

.

由不等式性质可知,当且仅当即当，时等号才会成立，

则的最小值为1.

(3)当或者当时，由于

，

则必是，且函数在点处的切线方程为

化简得

，

在点处的切线方程为

，

化简得

，

而两条切线相互重合等价于

由第二个式子及可知，则将第二个式子代入第一个式子有

取函数

，，

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