矩阵可对角化的充要条件

论文总字数：8895字

摘 要

矩阵可对角化是高等代数的重要内容.本文结合实例从矩阵可对角化的概念,矩阵可对角化的充分条件,充要条件以及矩阵可对角化的应用这四个方面介绍，突出可对角化矩阵在某些问题上所起到的重要作用.

关键词：矩阵可对角化,充分条件,充要条件,应用.

Abstract : Matrix diagonalization is a very important content of advanced algebra . In this paper, we introduce four aspects of matrix diagonalization, i.e., the concept of matrix can be diagonalized, the sufficient conditions, the necessary and sufficient conditions as well as the application of the matrix can be diagonalized, which shows that diagonalizable matrix played an important role in some problems.

Keywords: Matrix diagonalization, sufficient condition, necessary and sufficient conditions, application.

目录

第1章 绪论 .........................................................................................4

第2章 矩阵可对角化的概念 .............................................................4

2.1 矩阵可对角化的概念 ............................................................4

2.2 特征值、特征向量的概念 ..................................................5

第3章 矩阵可对角化的充分条件和充要条件....................................7

3.1 矩阵可对角化的充分条件 .....................................................7

3.2 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 ............................7

3.3矩阵对角化的一般方法,步骤及应用....................................10

结论 ................................................................................................. .....16

参考文献 ...............................................................................................17

致 谢 .....................................................................................................18

第1章 绪论

矩阵是高等代数的重要组成部分，是研究数学的重要工具.矩阵可对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，对角矩阵是矩阵中比较特殊的一类矩阵，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对角矩阵的形式简单，研究起来也非常的方便，所以研究矩阵对角化问题具有很实用的价值,目前对于矩阵对角化的方法，矩阵可对角化的条件以及矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究.主要表现为二次型在化简过程中矩阵之间的合同关系，线性变换对不同基下矩阵的相似关系.利用这些关系可以很快求出矩阵阵的行列式，矩阵的方幂,矩阵的逆,幂等矩阵的秩与迹的关系等问题，除此之外，矩阵对角化对于我们在几何上研究二次曲面也有很大的帮助.

研究矩阵的对角化具有非常重要的意义.矩阵相似是一种等价关系，相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如相似矩阵具有相同的特征多项式，最小多项式，特征值，迹，秩等等.如果我们只关心矩阵其中一类的性质，那么相似的矩阵可以看作是没有任何区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只需要研究它的标准形式即对角形矩阵就可以了.对矩阵可对角化的研究，人们得出了很多有用的结论.诸如矩阵可对角化的充要条件,矩阵可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；阶方阵可以对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；矩阵的几何重数等于代数重数；还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵等等，此外,还有一些充分条件如，矩阵有个不同的特征值，的零化多项式没有重根，幂等矩阵可对角化等等.然而,由于这些结论都比较抽象，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，为了便于学生的记忆和理解矩阵可对角化得的条件.在本课题中我通过查阅相关资料，阅读参考文献，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程.本文我的安排如下：首先介绍矩阵可对角化概念及相关知识得概念，然后介绍矩阵可对角化的充分条件，充要条件，再介绍矩阵可对角化的一般方法及在实例中的应用，最后是简短的总结.

第2章 矩阵可对角化的概念

2.1矩阵可对角化的概念

定义2.1 如果数域上，对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形矩阵，则称矩阵在数域上可对角化；当矩阵可对角化时，我们说可将矩阵对角化，即指求可逆矩阵使为对角形矩阵.

定义2.2 设是维线性空间的一个线性变换，如果存在的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则有线性变换可对角化.

2.2特征值,特征向量的概念

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