论文总字数：14664字

目 录

一 引言 1

二 智能手机的传统解锁方法计数 1

2.1 iPhone数字密码计数 1

2.1.1 自定数字密码 2

2.1.2 自定数字字母组合密码 2

2.2 Android手机九宫格手势密码计数 2

2.2.1 传统的锁屏密码计数问题 2

2.2.2 九宫格手势密码的其他情况 3

2.3 各种手机密码计数对比及使用注意事项 3

三 由九宫格衍生到其他异形手势密码 4

3.1 十六宫格（4×4）手势密码 4

3.1.1 可以跳过中间点计算十六宫格 4

3.1.2 不可以跳过中间点计算十六宫格 5

3.2 心形（一） 13

3.3 心形（二） 14

3.3.1 可以绕过点3 15

3.3.2 不可以绕过点3 15

四 小结 18

参考文献 18

致谢 19

手势密码计数及其衍生问题

宋英楠

，China

Abstract：This dissertation is about how to count the number of passwords (especially gesture passwords) of smart phone, and we discuss how to improve its security by counting. We also associate some possible way of gesture passwords by these existing gesture passwords，such as sixteen grid arranged to 4×4 and the heart-shaped. And we put our emphasis on the count of connecting 4 dots in sixteen grid arranged to 4×4, count and discuss how to improve its security. We mainly use combinatorial enumeration to solve these problems.

Key words：combinatorial enumeration; gesture passwords; permutation and combination

一 引言

组合计数属于组合数学，而组合数学在国外早已成为十分重要的学科，是计算机科学的基础。^[1]比如在美国有一种趋势，所有与新的算法有关的软件都可以申请专利。于此同时，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争也是日趋激烈。像IBM这些大公司都有很强的组合研究中心。美国重要的国家实验室Los Alamos国家实验室（造出了世界上第一颗原子弹），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。

传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。^[2]组合算法在生活中运用也很多，比如说著名的四色问题、过河问题等。

本篇论文就是讨论组合计数在智能手机密码中的运用。

随着智能手机的普及和移动通信业务的飞速发展，人们将其看作生活中重要的工具，并在其中存入越来越多的个人隐私信息。在越来越来越重视隐私的今天，随着人们对智能手机的依赖度越来越高，人们对智能手机信息安全高度重视。^[3]为了避免因手机丢失、被他人窃用而产生的信息及财产安全问题，手机信息安全成为当今不可忽视的话题。手机密码，即为其中重要的一环。

本文我们首先讨论了现有的智能手机的各种密码方式的计数问题并分析比较其安全性，提出一些可行性意见。然后再由此想到一些衍生的可能密码种类并进行计数分析。

二 智能手机的传统解锁方法计数

现在市面上的手机除了iPhone只能用数字或数字字母组合解锁，其他智能手机（以Android为主）的解锁方式越来越多样。如：九宫格解锁、签名解锁、面部识别等。这部分我们主要讨论iPhone的数字密码解锁和Android手机的九宫格解锁的计数问题。

2.1 iPhone数字密码计数

我们先讨论iPhone的解锁计数问题。

iPhone最常用的是4位数字密码或6位数字密码。4位数字密码从0000到9999，共10⁴种可能性；6位数字密码从000000到999999，共10⁶种可能性。

当然，其自定数字密码和自定数字字母密码的组合可能性就非常多了。

2.1.1 自定数字密码

通过iPhone手机实验我们发现，其自定数字密码或自定数字字母组合密码可以多于100位，我们并不能准确知道其位数，所以我们设其位数为n。

每一位都是0到9中的任意数字，所以其可能性共有个。

2.1.2 自定数字字母组合密码

我们由上一小节知道这种组合密码的位数为n，而且虽然被称为“自定数字字母密码”，但在这种密码环境下iPhone显示的是正常的英文键盘，也就代表着它可以输入某些符号，如：“,”、“?”、“.”等共30种符号。

我们还发现空格也可以作为一位密码并可以放在首位（点击两下空格键），再加上0到9共10个数字，26个字母并且区分大小写，每一位共93种可能性。

所以，这种组合密码共有种可能性。

2.2 Android手机九宫格手势密码计数

而Android手机九宫格密码的计数则比较复杂。

首先我们熟悉一下密码规则：在3×3的点阵中，任意一笔画连接其中四个以上的点，不可以重复某条线路或某个点。其中，如果这个点是中间的点，之前被使用过，则可以重复经过（其实不算点重复或路线重复，只是跳过这个点）。

2.2.1 传统的锁屏密码计数问题

在果壳网中，已经有网友计算出九宫格密码可能性计数，但其讨论方法主要针对的是手机的锁屏解锁，其他情况我们将在下一分节讨论，这里我们先了解讨论一下网友总结的计数方式。其讨论的主要方面为图2.1所示，“路径不允许跳过途中必须要经过的点。^[4]”

图2.1 路线示意图

在如图2.1这种九宫格手势密码中，像前两种这样点1跳过点2直接连接点3或者点1跳过点5直接连接点7的情况是不可以的；而像后两种这样点2、点5这样的已经用过的点看起来可以“跳过”，但实质是已经用过这个点，可以当做不存在。所以要想点1和点3、点7这样的点可以直接相连，其中间的点2、点5必须在这之前被使用过。

这种情况就剔除了普通排列组合计数九宫格中的很多种情况，最终结果为389 212种。

2.2.2 九宫格手势密码的其他情况

这一分节我们讨论上一分节提到的其他情况。除了Android手机的锁屏解锁，现在诸如支付宝、QQ等应用程序都有九宫格解锁。通过实验我们发现，这3×3的点阵是有间距的9个圆点，其间距完全可以绕过两个点中间的点（即跳过途中的点），如图2.2中的两种路径。

图2.2 跳过途中点路线

这样情况下的手势密码计数的本质即为在9个点中取4~9个点排列计数

所以其可能性如下表（表2.3）：

表2.3 九宫格数字密码计数

共985 824种。

2.3 各种手机密码计数对比及使用注意事项

从前面我们总结得出，iPhone的4位数字密码有种，6位数字密码有10⁶种，自定数字密码有个，自定数字字母组合密码有种可能性；而九宫格锁屏密码有389 212种，应用程序解锁密码有985 824种，是前者的2.5倍多。对比而言，4位数字密码被破解的可能性更大，而6位数字密码、自定义密码和九宫格密码就安全很多。

按照用户习惯，数字密码习惯于用生日、纪念日等容易被猜出的组合，这样4位数字密码就更容易被猜出。

组合密码虽然不限位数，但考虑到实际情况和需求，用户在设置时并不会为了让别人解锁不了而设置一串自己也不一定能记全的密码，所以并不是真的会达到那么多位数。

而设置手势密码时，大多数用户的密码都是更简单的路径——路径不与自身相交，并且所有线段都是水平、竖直或者 45 度倾斜的，大部分人还习惯于从左上角尤其是图2.2中数字1代表的地方开始画，所以虽然我们计算得出的概率很低，但密码被破解的可能性还是非常大的。选择数字密码最好避免使用很容易被知道的日期或有意义的数字等；而手势密码则尽量避免诸如L、Z等简单形状，逆着自己的使用习惯来设置，这样会更安全一些。

以及除了锁屏密码以外，在关系隐私、钱财的一些应用程序同样设置密码（包括现在使用范围比较广的指纹解锁），且密码最好不相同，都是比较安全的保护手机数据及财产安全的方式。

三 由九宫格衍生到其他异形手势密码

从Android手机的九宫格手势密码我们可以衍生到多种异形手势密码。不过首先我们规定所有手势笔画必须从格子图案大范围内部穿过，比如如果某两个格中间隔了一位但并没有格子，这两个点就不可以相连（其本质即为若异形形状确定，不可超越形状以外去画手势，在3.3和3.4中有具体体现）。

3.1 十六宫格（4×4）手势密码

顾名思义十六宫格手势密码就是4×4的点阵，从任意点开始一笔画连接多个点。

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