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摘要 1

Abstract 2

1. 引言 3

2. 线性化Crank-Nicolson有限差分格式 4

3. 总质量和总能量守恒律 5

3.1 连续意义下的总质量和总能量守恒律 5

3.1.1 质量守恒定律 5

3.1.2 能量守恒定律 6

3.2 离散意义下的总质量和总能量守恒律 8

3.2.1 质量守恒定律 10

3.2.2 能量守恒定律 12

4. 局部截段误差 14

5. 数值实验 15

6. 总结 19

参考文献 20

致谢 22

非线性Schrödinger方程线性化Crank-Nicolson

格式的新认识

杨鑫

，China

Abstract: In this paper, a new linearized Crank-Nicolson finite difference scheme is proposed for solving the nonlinear Schrödinger equation. A new viewpoint of the new scheme is given, i.e., the new linearized scheme is proven to be energy conservative in the discrete sense by defining a new energy functional. Besides, the new scheme also preserves the total mass in the discrete sense. By virtue of the Taylor expansion, the local truncation error of the new scheme is discussed in detail. In fact, the order of the local truncation error is of second order both in space and time directions. In the practical computation at each time level, just only a tridiagonal system of linear algebraic equations need to be solved efficiently by using Thomas algorithm. Finally, a numerical experiment is carried out to test the accuracy and conservation laws, and simulate the dynamical behavior of the nonlinear Schrödinger equation.

Key words: Nonlinear Schrödinger equation；Finite difference scheme；Conservation laws；Local truncation error

1. 引言

非线性Schrödinger(NLS)方程

， (1.1)

广泛的用于核物理, 固体物理和原子物理等众多领域[1-3]。现今，求解非线性薛定谔方程已经有很多有效的算法，其中主要有有限差分法[4-11]、有限元方法[12-14]、谱方法[15-17]、多项式近似法[18-20]等。有限差分格式有紧差分格式[21]、线性化隐式格式以及Crank-Nicolson隐式格式。本文对如下的非线性NLS方程

，，， (1.2)

进行数值研究，其中是一个非零实常数，,为已知的光滑实函数，为未知的复值波函数，是到的已知单调函数。

本文研究非线性NLS方程（1.2）带有如下的初边值条件

，， (1.3)

,， (1.4)

的初边值问题，其中是已知的光滑复值函数。

初边值问题（1.2）-（1.4）是一个哈密顿系统[22]，而且满足如下的总质量守恒

， (1.5)

和总能量守恒

， (1.6)

其中是的任意原函数，即有。关于(1.5)式和(1.6)式的详细证明可见第3.1节中的分析。

郭本瑜首次对非线性Schrödinger方程的标准Crank-Nicolson有限差分格式进行了研究[23]，该格式是一个辛差分格式，适合长时间计算，但该格式是完全非线性的，计算中不可避免地需要迭代，因此计算效率不高。另外由于很难得到该格式的先验估计，因此也很难建立算法的最优误差估计[24-25]。Bao等在[26]中指出线性化的Crank-Nicolson（LCN）方案虽具有良好的计算效果，但不能在离散下保持总质量和能量守恒。基于以上认识，本文致力于给出非线性薛定谔方程一个新的线性化Crank-Nicolson格式，通过理论分析给出格式的局部阶段误差和能量守恒性质，新格式在具体计算中不需要迭代，每个时间部只需要求解一个三对角线性代数方程组，为此我们引入追赶法进行高效求解。最后，通过上机编程进行数值模拟，验证算法的精度和守恒律。

2.线性化Crank-Nicolson有限差分格式

取正整数和，选择时间方向的步长，,和空间步长，方向的步长，记，以及，分别为空间和时间方向的网格点。令和分别表示函数在点上的近似值和精确值。