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广义Hough变换检测不规则图形

朱晓峰

摘要：本文研究Hough变换，首先简要介绍了利用传统Hough变换检测直线和圆的原理及效果，然后着重介绍了广义Hough变换的基本原理及其在检测不规则图形中的应用，实验结果显示，广义Hough变换可用于不规则图形的检测。另外也检测了噪声和遮挡等对广义Hough变换的影响。

关键词：数字图像；Hough变换；广义Hough变换；

引言

图像、图片、物体这些东西都是我们生活中常见的客观事物，我们通过我们人类的肉眼可以清晰的识别它们。随着计算机科学技术与信息处理技术的迅速发展，人们开始使用计算机对图像进行加工处理并加以分析从而使计算机可以智能化的识别这些我们人眼所可以识别的客观事物。

1962年，Paul Hough首次提出并申请其为自身专利的Hough变换（Hough Transform）^[1]可以说是这一科技领域的一个标识。Hough通过点—线的对偶性以及通过几何图形的几何特征，十分适用于拥有解析几何表达式的形状如：直线、圆、椭圆等等的目标检测。在Hough变换的基础上一些科学家如：J.illingworth、Shvaytser等提出了相关的理论（多层 Hough 变换检测直线^[2]、概率 Hough 变换）来对此进行优化与改善。

最初Hough只是被用于检测直线，伴随着时代的进步，最终被广义化常规低参数的图行检测，近年来，被用于检测类别目标物体^[3-5]。抛弃了以往几何图形所拥有的表达式，使用R-table来事先储存被检测图形每个点对应的一系列参数，在图像处理是使用“投票”方式，选出最优值（峰值），来检测目标图形。

然而现实与理想状态总是存在这种种阻碍的。在现实条件下，光照，噪音等因素会在一定程度上影响检测的准确性，所以降低这些干扰因素从而提高图形的检测准确度，也成为了人们需要研究的一部分。

本文基于国内外各种文献的基础上，初步整理了Hough变换检测直线、Hough变换检测圆的原理以及展示了实验结果。着重介绍了广义Hough变换检测不规则图形并展示实验结果。

本文首先介绍了Hough变换在检测直线与圆，这2类典型的拥有几何特性的图形。在介绍和揭示其原理的基础上，慢慢引入更深的层次，从而开始介绍广义Hough变换的提出，以及其与前两者的不同点。

广义Hough变换的提出是因为人们发现在图像检测时，当我们检测一些不能用几何公式，也就是不拥有特定的几何特性的图形时，传统Hough变换不再满足我们的需求，我们无法去用传统的Hough检测方式去检测他们。

基于先人对于曲线的检测算法，人们进一步针对这些没有特性几何特性的图形，通过记录这类图形边缘点与X轴以及边缘点与图形内选中的参考点（一般选用图形的中心点）的矢量值，并将这些值记录到一个表格中，我们称之为R-table。在检测目标的时候，根据每个边缘点与X轴的，从而通过R-table中的数据来找到这个点对应的参考点，记录每个边缘点所对应的参考点，并记录在预先所设立的集合A中，到最后通过查看A中的峰值变换情况，从而选出参考点的坐标，从而找出目标图形。

考虑到图形在一些情况下会经过旋转以及比例缩放，于是人们进一步改进了广义hough变换，使其变成了四维参数表。

考虑到实际生活中图像会因为一些自然因素或者是人为原因而产生噪点、遮挡物等干扰物，于是分别对这2类障碍条件进行了实验，来观察广义hough变换对这2类干扰物的抗性强度。

Hough变换
1. Hough变换检测直线图像空间与参数空间之间的映射关系

基于Hough变换的点--线的对偶性（图像空间中共线的点对应参数空间共相交的线）^[6-7]，从而得到，在参数空间中所有相交于同一个点的线都是图像空间中一条直线上的点。

在图像空间上，一条直线方程可表示成。把所在的空间定义为参数空间，则可知图像空间中的一条直线对应着参数空间中的一个点，而图像空间中的直线方程可转化为参数空间中的方程。从此方程又可以看出，图像空间中的一个确定点，对应着参数空间中的一条确定直线（参考图像1）。

图1 图像空间中的点与参数空间中的直线对偶示意图

一个点和过这个点的直线方程。在平面上通过点的直线有无数条。对于不同的值和，可以确定不同的直线方程如果将直线方程写成的形式，那么在参数空间上将得到对于固定点的唯一直线。

在参数空间建立一个二维累加数组，对过点的直线进行计数。由于在图像空间中对直线斜率和截距未知，所以在区间上，对a进行离散化，这样就得到一个数组。首先对数组清零，然后对图像空间中的每一个点，让取遍中的所有值，根据算出所对应的值，再对进行累加计数，即。遍历所有点后，中的数值就是在参数空间中相交于点处直线的个数，也就是图像空间中共线点的个数。然后便可求出这条直线。

实验结果如下：

待测图形边缘检测

最终结果

图2 直线检测结果

1. Hough变换检测圆图像空间转换为参数空间

所有的图片，我们都可以吧里面的所有图像看作是一个个的点。那么一副图像，其实便是一个由很多的点所构成的点集。那么我们要在图像中寻找圆，就变成了在这个点集中寻找所有满足在一个圆的上条件的点集，这个点集里面的点所构成的就是我们要寻找的圆。

在图像空间上，一个圆的方程可以表示为。我们把所在的空间定义为参数空间，这样子我们就可以得知图像空间中的一个圆对应着参数空间中的一个点。这个就是圆在图像空间与参数空间的映射关系。于是图像空间中的圆方程便转化为参数空间中的方程，。从这个方程中可以看出，图像空间中的一个点确定点，同时对应着参数空间中的一条确定圆锥。

图3 参数空间

图像空间中的一个点和过这个点的圆的方程，在xoy平面上通过点的圆有无数个。对于不同的值a,b,r，可以得到不同的圆方程。我们将圆的方程转变为，的形式，那么在参数空间上我们就可以得到对于固定点的唯一圆锥。同理，对于圆上的第二个点，我们在参数空间中也可以得到一个与之相关的圆锥，且这个圆锥与点确定的圆锥相交于点。这里对应于图像空间xoy平面上点和确定的圆的交点。从此我们可以看出，在图像空间上共圆的点，该点对应着参数空间中圆锥的交点，即对于平面上的圆方程上的任意点，我们都可以转化为在参数空间上其对应的圆锥，并且这些圆锥相交于点，那么图像空间中对圆的求取的问题就变成了参数空间中求取圆锥的交点问题。