论文总字数：9574字

目 录

1 引言 6

2 关于素理想、极大理想、左T-幂零理想 6

命题2.1 6

推论2.2 7

命题2.3 7

命题2.4 7

命题2.5 7

命题2.6 7

命题2.7 8

命题2.8 8

命题2.9 8

3.关于二素理想、半交换理想、根对称理想 8

命题3.1 8

命题3.2 9

命题3.3 9

命题3.4 9

命题3.5 9

定义3.6 10

命题3.7 10

定义3.8 10

命题3.9 10

定义3.10 10

命题3.11 11

定义3.12 11

命题3.13 11

参考文献 11

致谢 12

环与其商环的若干类理想

管正雄

，China

（空1行，五号）

Abstract：In this note, we investigate the relationships between ideals of an ring and its quotient ring R/I. We show that if and , then is a 2-primal ideal(strongly prime ideal, left T-nilpotent ideal, radically-symmetric ideal) of if and only if is a 2-primal ideal(strongly prime ideal, left T-nilpotent ideal, radically-symmetric ideal) of .

Key words：quotient ring; 2-primal ideal; strongly prime ideal; left T-nilpotent ideal; radically-symmetric ideal.

1 引言

本文讨论的环都是一般环， 即未必有单位元. 文献[1]中证明， 若是环的一个理想， 则的任一子环都具有的形式， 其中是的含有的子环； 对于的含有的两个不同子环，，，分别是两个不同子环. 并且， 当且仅当是的理想时，是的理想. 本文将此推论扩展， 讨论一个环的理想与其商环的其它若干类理想之间的关系。

文献[2]给出了完全素理想， 半素理想， 完全半素理想和二素理想的定义. 称环的一个理想为的完全素理想， 如果对任意， 由可以推出或者. 称的一个理想为的半素理想， 如果对任意， 由可以推出. 称的一个理想为的二素理想， 如果 其中是环的素根（即的所以素理想之交），是的所有幂零元的集合. 称环的一个理想为的完全半素理想， 如果对任意， 由可以推出. 文献[3]称为的左(右)-幂零理想， 如果是的左(右)理想， 并且对任意元素序列， 存在一个正整数使得. 文献[4]称环的一个理想为强素理想， 如果为素理想， 并且是诣零半单的（即中无非零幂零元理想）. 文献[5]称环的理想幂零理想， 若存在一个正整数使得. 文献[6]引进了半交换理想和根对称理想的概念. 称环的一个理想为半交换理想，如果为半交换理想，即对任意，由可以推出；称环的一个理想为根对称理想，如果为对称环，其中表示的包含的所有素理想的之交. Lambek[7]称环的一个理想为对称理想，如果是对称环，即对任意，由可以推出.

2 关于素理想、极大理想、左T-幂零理想

命题2.1

设是一个环， 且， 则是的左(右)理想当且仅当是的左(右)理想.

证明：必要性. 设 则. 由于是的左(右)理想， 所以有(). 因为， ()，这推出，()，所以是的左(右)理想.

充分性. 设 则. 由于是的左(右)理想， 所以有(，(). 因为， ()，这推出，()，所以是的左(右)理想.

推论2.2

设是一个环， 且， 则是的理想当且仅当是的理想.

命题2.3

设是一个环，且，， 则是的完全素理想当且仅当是的完全素理想.

证明：必要性. 设.由于， 这推出. 因为是的完全素理想， 按照定义有或者， 因此有或者， 所以是的完全素理想.

充分性. 设. 由推出. 因为是的完全素理想， 依定义有或者 故可得或者. 所以是的完全素理想.

命题2.4

设是一个环， 且，则是的素理想当且仅当是的素理想.

证明：必要性. 设. 由知. 又因为是的素理想， 有或者. 所以或者. 这就推出是的素理想.

充分性. 设. 由知. 又因为是的素理想， 有或者. 所以或者. 这就推出是的素理想.

命题2.5

设是一个环， 且，则是的完全半素理想当且仅当是的完全半素理想.

证明：必要性. 设. 由可得. 又因为是的完全半素理想， 故有. 所以是的完全半素理想.

充分性. 设. 由可得. 又因为是的完全半素理想， 故有. 所以是的完全半素理想.

命题2.6

设是一个环， 且，则是的半素理想当且仅当是的半素理想.

证明：必要性. 设， . 所以. 由于， 可得. 又因为是的半素理想， 故有. 所以是的半素理想.

充分性. 设， . 所以. 由于， 可得. 又因为是的半素理想， 故有. 所以是的半素理想.

命题2.7

设是一个环， 且，则是的极大理想当且仅当是的极大理想.

证明：必要性. 设是的理想，并且. 由推论2.2知，是的理想，并且. 因为是的极大理想，所以由知. 故，是的极大理想.

充分性. 设是的理想，并且. 由推论2.2知，是的理想，并且. 因为是的极大理想，所以由知. 故，是的极大理想.

命题2.8

设是一个环， 且，则是的幂零理想当且仅当是的幂零理想.

证明：必要性. 设，. 因为是的幂零理想， 对于任意， 都存在， 使得. 因而有， 所以是的幂零理想.

充分性. 设， 所以. 因为是的幂零理想， 对于任意， 都存在， 使得.由于，，所以是的幂零理想.

命题2.9

设是一个环， 且，则是的左(右)T-幂零理想当且仅当是的左(右)T-幂零理想.

证明：必要性. 设是中任意元素序列，则是中的一个元素序列. 由于是左T-幂零的，所以存在一个正整数使得. 于是，对上面中的元素序列，有相同的使得.所以是的左T-幂零理想.

充分性. 对于中的任意一个序列. ，可得中的一个元素序列. 由于是左T-幂零的，所以存在一个正整数使得. 于是，对前面面中的元素序列，有相同的使得，.所以是左T-幂零的，即是的左T-幂零理想.

对于右T-幂零理想的情况类似可证.

3.关于二素理想、半交换理想、根对称理想

命题3.1

设是一个环， 且，则是的强素理想当且仅当是的强素理想.

证明：必要性. 因为是的强素理想，所以是诣零半单的. 又因为是的素理想，由命题2.4可知是的素理想. 故是的强素理想.

充分性. 因为是的强素理想，所以是诣零半单的. 又因为是的素理想，由命题2.4可知是的素理想. 故是的强素理想.

命题3.2

设是一个环， 且，则是的二素理想当且仅当是的二素理想.

证明：必要性. 同构于. 因为是的二素理想， 有. 得，故是的二素理想.

充分性. 由于同构于. 因为是的二素理想， 有. 得，故是的二素理想.

命题3.3

设是一个环，且，则是的对称理想当且仅当是的理想.

证明：必要性. 设，则有， 有. 由于是的对称理想，推出，于是有. 所以是的对称理想.

充分性. 设，因为，而是的对称理想，由可以推出，所以有. 所以是的对称理想.

命题3.4

设是一个环，且，则是的半交换理想当且仅当是的半交换理想.

证明：必要性. 设任意. 故， 有. 由于是的半交换理想， 可推出. 由， 得.是的半交换理想.

充分性. 设任意. 故， 有. 由于是的半交换理想， 可推出. 由， 得.是的半交换理想.

命题3.5

设是一个环，且，则是的根对称理想当且仅当是的根对称理想.

证明：必要性. 设. 由[6]中的引理2.12是的根对称理想， 所以理想具有半交换性质，可推出. 有，这样就推出也具有半交换性质， 由[6]中的命题1.6知是的根对称理想.

充分性. 设. 则. 由[6]中的引理2.12是的根对称理想具有半交换性质， 由可推出. 有也具有半交换性质， 由[6]中的命题1.6可知，是的根对称理想.

定义3.6

称环的理想为弱2-素理想，如果是弱2-素环，即，其中是环的局部幂零根(见[5]).

命题3.7

设是一个环，且，则是的弱2-素理想当且仅当是的弱2-素理想.

证明：必要性. 由于同构于， 故有有. 因为是的弱2-素理想， 有. 这就推出， 故是的弱2-素理想.

充分性. 由于同构于， 故有. 因为是的弱2-素理想， 有. 这就推出， 故是的弱2-素理想.

定义3.8

称环的理想为-理想，如果是-环，即，其中是环的上诣零根(即的所有诣零理想的交).

命题3.9

设是一个环，且，则是的-理想当且仅当是的-理想.

证明：必要性. 因为是的-理想， 有. 由于同构于， 故有， 即是的-理想.

充分性. 设是的-理想，则有. 由于同构于， 故有， 是的-理想.

定义3.10

称环的理想为弱半交换理想，如果是弱半交换环， 即对于，由 可以推出，对于任意的，都存在正整数使得.

命题3.11

设是一个环，且，则是的弱半交换理想当且仅当是的弱半交换理想.

证明：必要性. 设. 于是有. 由于是的弱半交换理想，对于任意的， 存在正整数使得. 因此有. 这样，对于任意的，知有使得，故是的弱半交换理想.

充分性. 设. 则. 由于是的弱半交换理想，对于任意的， 存在正整数使得. 这说明对于任意的， 有使得. 故是的弱半交换理想.

定义3.12

称环的理想为弱对称理想，如果是弱对称环，即对于任意的，如果存在一个正整数使得，则必存在一个正整数使得.

命题3.13

设是一个环，且， 则是的弱对称理想当且仅当是的弱对称理想.

证明：必要性. 设，. 于是有，. 由是的弱对称理想知存在一个正整， 使得. . 这推出. 故是的弱对称理想.

充分性. 设任意，，则. 由是的弱对称理想知存在一个正整， 使得. 于是有. 故是的弱对称理想.

参考文献

1.吴品三. 近世代数[M]. 北京: 人民教育出版社, 1980.

2.Birkenmeier G F, Heatherly H E, Lee E K. Completely prime ideals and associated radicals[J], Ring theory (Granville, OH, 1992), 102-129, World Sci. Publ., River

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