Black-Scholes 公式及其随机模拟

论文总字数：21006字

摘 要

本文首先介绍了Black-Scholes期权定价模型出现前普遍使用的定价方法，然后从他们的缺陷出发，引出Black-Scholes期权定价模型，并且详细推导了Black-Scholes期权定价公式，其中涉及到了布朗运动、几何布朗运动和伊藤公式等。Matlab模拟部分主要选取了欧式期权和美式期权，并且有几个验证的实例，欧式期权使用的内置金融工具箱子，美式期权则是自己编写了BAW模型的代码。在论文的结尾，介绍了Black-Scholes期权定价模型的缺陷和后续的改进。

关键词：Black-Scholes模型，欧式期权，美式期权，Ito公式，Matlab

Abstract

In this thesis, first l introduces the pricing methods commonly used before the black-scholes option pricing model, then, based on their defects, the black-scholes option pricing model is introduced, and the black-scholes option pricing formula is derived in detail, which involves Brownian motion, geometric Brownian motion and ITO formula, etc. Matlab simulation part mainly selects European options and American options, and has several verification examples, European options use the built-in financial tool box, American options is to write their own BAW model code. In the end, the defects of black-scholes option pricing model and the subsequent improvement are introduced.

KEY WORDS: Black-Scholes model, European Options, American Options, Ito formula, Matlab

目 录

摘要 ……………………………………………………………………………………………3

Abstract …………………………………………………………………………………………3

1. 绪论 …………………………………………………………………………………5
2. 理论部分 ……………………………………………………………………………5
3. MATLAB模拟计算 ……………………………………………………………………15
4. 期权定价模型的后续研究 ………………………………………………………20

致谢 ………………………………………………………………………………………22

参考文献（References） …………………………………………………………………23

附录 …………………………………………………………………………………………24

第一章 绪论

1973年，费舍尔·布莱克(Fischer Black)和迈伦·舒尔斯(Myron Scholes)[1]提出了Black-Scholes期权定价模型。同样也是在1973年，罗伯特·默顿(Robert Merton)[2]也发现了同样的模型。他们创立和发展Black-Scholes期权定价模型（Black Scholes Option Pricing Model）在金融领域有巨大应用，并风靡全球。

从期权诞生开始，期权定价大部分都是根据实际观察和曲线的拟合的情况得到期权的价格，这种定价方式有很大的问题，没有办法描述经济均衡对于期权价格的影响。进入二十世纪六十年代后，学者对于期权定价理论的研究得到了广泛的关注，掀起了一股研究期权定价理论的风潮，但是这个时候大部分都是遵从认股权证的思想对期权定价的。假设股票的价格过程服从对数分布、均值和方差为常数的前提下，1961年，Case Sprenkle[10]推导得到了期权定价公式。在同样的分布假设下，1964年，James Boness[11]认为期权的价格由期权的执行价格，股票价格的波动性和期权的到期时间等因素唯一确认的，但是他考虑了其他的影响因素使得他也没有在这个领域取得很好的成果。1965年，保罗·萨缪尔森(Paul Samuelson)[12]考虑到路径期权和股票有不一样的风险水平，从而导致风险更大的期权应该有更好的期望收益率，基于这个假设，他针对欧式看涨的情形推导得到了定价方法。

这些研究都不约而同地认为，期权价格应该等于期权预期收益的贴现，股票价格在未来一段时间的概率分布直接影响了期权预期收益，而期权预期收益的贴现价值也依赖于选取的贴现率。但是在实践中，贴现率和未来价格的分布都是没有办法得到的。七十年代以前的各种期权定价公式都有的缺陷，就是他们过分依赖投资者的风险偏好或者股票的未来价格的概率分布，而这两者是没有办法估计或得到的。Black-Scholes期权定价模型从这些理论中汲取了灵感和想法，从而得到了意义深远的结论。

第二章 理论部分

2.1布朗运动

1827年，英国植物学家罗伯特·布朗(Robert Brown)[3]观察到水中悬浮的微粒表现出持续的不规则曲线运动，后来人们称之为布朗运动。1905年-1906年，德国理论物理学家阿尔伯特·爱因斯坦[4](Albert Einstein)和斯莫卢霍夫斯基(Smoluchowski)分别独立又平行地发表了布朗运动理论的文章,布朗运动的物理学角度得到了很好的阐释，但是他们数学理论的部分有很大的缺陷。在他俩发表论文之前，1900年，法国数学家劳伦斯·巴契里耶(Louis Bachelier)[5]在学位论文《投机交易理论》中首次尝试使用随机游动思想研究并解释股票的走势，这被认为是现代金融学的标志。然而布朗运动在数学角度的描述进展缓慢。1932年，美国应用数学家诺伯特·维纳(Norbert Wiener)[6]为布朗运动发展了严格数学模型，因此布朗运动又被称为维纳过程。维纳过程在物理学、金融学、数学中都有重要的应用，在金融数学中，维纳过程对于布莱克-舒尔斯模型的描述具有重大意义。现代意义的布朗运动其数学定义如下。

随机过程 是布朗运动(Brownian motion),如果它：

(1)(正态性及平稳增量性)任取 ，有 ，当 时，有 ；

(2)(独立增量性)任取， 相互独立；

(3)(连续路径)是连续函数。

布朗运动作为一种随机过程，具有的性质包括：

1. 具有连续轨道，但几乎处处不可微；
2. 布朗运动在任意区间上都不是有限变差的；任取，布朗运动在 上的二次变差等于；
3. 作为一个高斯过程(Gaussian process)，其均值为零，协方差函数为；;
4. 有空间齐次性。

布朗运动的这些性质使得布朗运动可以被用来描述股票价格的变化。假设股票价格变动遵循布朗运动，我们可以得到股票价格在开盘后会围绕开盘价格上下波动，在之后的任意时刻的股票价格不会偏离开盘价格价格波动的标准差太远，并且股票收益率有转折尖点的现象，这和现实生活中的股票价格走势规律相似。但是布朗运动的几乎处处不可微使得我们无法使用古典微积分中的分析理论研究它。

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