最小多项式在矩阵问题中的若干应用

论文总字数：4604字

摘 要

矩阵的最小多项式在矩阵相似、矩阵函数、若尔当标准型和矩阵方阵中都有重要的应用，研究最小多项式的性质和应用就现在尤为重要了。在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的性质讨论较少，更不涉及它的应用，本文归纳了最小多项式的若干结论，主要包括最小多项式的性质以及最小多项式的一些应用。

关键词：最小多项式，矩阵，最小多项式的应用，

Abstract：The minimal polynomial of matrix in the similarity matrix, matrix function, Jordan Standard form and a square matrix has important applications, properties and application of minimal polynomial is now particularly important. In the "Higher Algebra" teaching materials, properties of the minimal polynomial of a matrix is little discussed, nor to its application, this paper summarizes some conclusions minimal polynomials, including the properties of minimal polynomial and some applications of the minimal polynomial.

Keywords：Minimal polynomial,Matrix ,The application of minimal polynomial

目 录

1 最小多项式的性质…………………………………………………4

2 最小多项式的应用…………………………………………………5

2.1 已知方阵和多项式，求…………………………………6

2.2 对于方阵如何确定可逆以及求的逆…………………7

2.3 判断方阵能否与对角阵相似………………………………………9

2.4 求方阵的全体多项式所生成的线性空间的维数和一组基…10

2.5最小多项式与特征多项式…………………………………………10

结论 ………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………12

1 最小多项式的性质

我们知道，矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少，但此内容是重要的.本文就此对矩阵的最小多项式的性质及其应用最进一步的谈论，仅供参考.

下面简述一下最小多项式的一些性质.

性质1 复数域中任何矩阵的最小多项式是唯一的.

证明 设和都是的最小多项式，很据带余除法，可表

，

其中或，于是

，

因此 .

由最小多项式的定义，，即.同样可证.因此与只能相差一个非零常数因子.又因与的首项系数都为，所以.

性质2 复数域中的任何阶矩阵都有最小多项式.

性质3 级若尔当块的最小多项式.

证明 的特征多项式为，而，并且我们知道，所以的最小多项式为.

性质4 相似矩阵有相同的最小多项式；矩阵与其转置有相同的最小多项式.

证明 设方阵的最小多项式是，方阵的最小多项式是，由和相似知，有

，

其中为可逆矩阵.则

，

由性质7知整除，同理可证整除，所以.得证.

性质5 任取复数域中的阶可逆矩阵，设其最小多项式为，则的最小多项式是.

性质6 设是一个准对角阵，

,

的最小多项式等于的最小多项式的最小公倍式，.

证明 设的最小多项式为，的最小多项式为，的最小公倍式是，由整除知，.故,因此整除.

又因为,因此对于每一个，有，即整除.而是的最小公倍式，故整除，综上所述.

性质7 设是矩阵的最小多项式，那么以为根的充分必要条件是整除.

性质8 阶复方阵的最小多项式是的最后一个不变因子.

性质9 数域上的阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上的互素的一次因式的乘积.

2 最小多项式的应用

2.1 已知方阵和多项式，求.

设是任意多项式，是的最小多项式，由带余除法知存在，，且使得

,

其中

或,

由于

,

则

,

因此由来求，比直接求要简单.

例题1设，

，求.

解 因为的特征多项式

没有重根，故,

用除，设，计算可知.

故.

例2 已知矩阵与，求的最小多项式和.

解 因为的特征多项式为，所以的最小多项式为的因式.因为，而，所以的最小多项式为.因此，有矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间的维数为，就存在一个多项式，使得当时，有.

于是,解得,故.

而，故.

例题1是利用矩阵最小多项式求解矩阵函数.当多项式的次数比较高时，直接将带入求解运算量很大，十分繁琐，而利用最小多项式可以使得的次数降低到低于的次数，再将带入求解，简化了运算.

2.2 对于方阵如何确定可逆以及求的逆

我们先证明下面这个命题：

命题1 可逆的充分必要条件是和互素.

证明 必要性：设从而有

秩秩,

若，由，知存在使得,

于是有

,

由于可逆，则

,

而与是的最小多项式矛盾，

所以

.

充分性：因为则存在，使得

于是有

因为，则，所以可逆.

命题 设是复多项式，为阶方阵，其特征值都不是的根，证明：可逆，且其逆可表示成的多项式.

证明 设是的最小多项式，则由题可得由上面的命题1的证明可得可逆.又由于存在，使得

,

即

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