浅析实矩阵的性质

论文总字数：6011字

摘 要

矩阵是高等代数的主要研究对象，它的性质有着广泛的应用，而矩阵的许多性质与数域有关。本文主要利用实数平方和的性质、实二次三项式判别式、实系数多项式的根的性质、向量的正交性、实对称矩阵的正定性、实函数的连续性等相关知识对实矩阵的性质进行了研究。

关键词： 实矩阵，正定矩阵，正交矩阵，实函数

Abstract: Matrix is the main research object of higher algebra which is widely used,and the nature of many properties of the matrix is related to the number field. I research the nature of the solid matrix by using the properties of real numbers sum of squares,real quadratic trinomial discriminant, the nature of the real coefficient polynomial roots, vector of orthogonality.Real symmetric matrices is qualitative and the continuity of real function.

Keywords： real matrix, positive definite matrices, orthogonal matrix, real function

目 录

1引言………………………………………………………………………4

2实矩阵与实数平方和性质有关的性质…………………………………5

3实矩阵由实二次三项式判别式得到的性质……………………………8

4实矩阵由实系数多项式的根得到的性质………………………………8

5实矩阵由向量正交性得到的性质………………………………………8

6实矩阵由正定性得到的性质……………………………………………10

7实矩阵由实函数连续性得到的性质……………………………………11

结论…………………………………………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………14

1 引言

矩阵是一个重要的数学工具，也是高等代数的主要研究对象．矩阵的很多性质，其中不少性质与数域有关．本文主要探讨与实矩阵的与实数域有关的一些性质．

在本文中，表示矩阵的转置矩阵；表示矩阵的迹(即矩阵的对角元素的和)；表示矩阵 的秩；表示矩阵的行列式；表示单位矩阵；表示对角元素为的对角矩阵，表示实数域，表示由实的维向量作成的欧氏空间．

本文中用到如下一些基本概念和结论，它们在文[1]中都可找到．

定义 1 设是一个阶矩阵，若，则称为对称矩阵(或反对称矩阵)．

定义2设是一个阶矩阵，是复数，非零的维复列向量，若，则称为的一个特征值，是的属于特征值的一个特征向量．

定义 3 设为维实的列向量，若，则称为单位向量；若，则称与是正交的．

定义 4 设是一个阶实矩阵，若，则称为正交矩阵．

命题 1 设是一个阶实矩阵，则为正交矩阵当且仅当的行（或列）向量组是标准正交的．

定义 5若是一个阶实对称矩阵，则有阶正交矩阵，使得

其中为矩阵的特征值．

命题2 实对称矩阵的特征值都是实数．

定义 6 设是一个阶实对称矩阵，若对于任意非零的维实向量，都有（或 0）则称是正定矩阵（或半正定矩阵）.

命题3 设是一个阶实对称矩阵，若下列条件中有一个成立时，则是正定矩阵：

(1) 的正惯性指数为．

(2) 的顺序主子式全大于零．

(3) 的特征值全大于零．

(4) 与合同．

定义7设为一个向量组，若有不全为零的数，使 ，则称向量组是线性相关的，否则称向量组是线性无关的.

2 实矩阵与实数平方和性质有关的性质

设是实数，若，则．利用实数平方和的这一性质可以得到实矩阵的一些性质．

性质1 设是一个阶实矩阵，若，则．

证明 设，由有，从而由是对称矩阵有

，

而是实矩阵，即是实数，所以由上式有，从而．

注1 设，则有,但．此例说明在复数域上，由不一定能得到．

注2 利用实数的平方和的性质可以证明更为复杂的问题．

例1 设为阶实对称矩阵，为阶实反对称矩阵，若，则．

证明 设，，，由于为对称矩阵，反对称矩阵，所以，，，于是由有，，从而以，即

，

而是实矩阵知，所以为实数，因此由上式可知全为零，所以．

注3 利用性质1可以证明某些实矩阵的问题．

例2 设为阶实矩阵，若，则．

证明一 由有

，

所以由是实矩阵可知，即．

证明二 考虑矩阵方程，与，其中为阶矩阵．设是的任意一个解，即，于是有，即，由于是实矩阵，所以，即的解都是的解，

由有，即是的解，从而也是的解，即，所以．

可见，用实矩阵的性质进行证明较为简洁．

例3设实矩阵的秩为，则有秩为的实矩阵，使可逆，且．

证明 由于，所以方程组的解空间的维数为，设是方程组的一个基础解系，作矩阵，则是秩为的实矩阵，且有，即．而

，

由于是实矩阵，所以，，而也是实矩阵，所以有，故是可逆矩阵．

性质2 设是一个实矩阵，证明．

证明 只要证明方程组与同解．的解显然都是的解．设是的任意一个解，即，则，即，记，则有，由于都是实数，所以，即，从而的解也都是的解．

注1 性质2对于复矩阵不成立，如，有，即，而．

1. 利用性质2可以证明与实矩阵的秩有关的一些问题．

例4 设是非零的实向量，求的秩、特征值与特征向量．

解 由于是实矩阵，而是非零向量，所以．

由于，而，所以是矩阵的一个特征值，而是相应的一个特征向量．

又由于是实对称矩阵，而所以，所以矩阵的其余特征向量为0（重），属于特征值零的个线性无关的特征向量为．

例5 设是实矩阵，，，若，则．

证明 由是实矩阵知，，所以都是可逆矩阵，于是由有，从而由可逆有．

注 若不是实矩阵，则可以用线性方程组理论证明．设的列向量组为，则由有，，即是方程组的解，．

由可知，所以方程组的基础解系至少含有个解，而的列数为，所以有，而，所以，即，从而，由于，仿上可得．

例6 设是阶实矩阵，为实向量，证明线性方程组有解．

证明 由是实矩阵有，于是

，

所以，从而方程组有解．

性质3 设≥阶非零实矩阵的每个元素都等于它的代数余子式，则是一个正交矩阵．

证明 设，由知有某个，将行列式按第行展开，由得

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