论文总字数：11445字

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中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

引言 1

1 整环上多项式的相关概念 2

1.1数域上多项式的性质 2

1.2整环及其多项式环 4

1.3唯一分解整环、主理想整环与欧几里德整环 5

2 整环上多项式满足带余除法 6

2.1整环的带余除法定理 6

2.2的根与因式形式 8

3 整环上多项式的因式分解 9

4 整环上多项式的最大公因式 11

4.1唯一分解整环上多项式环的最大公因式 12

4.2主理想整环上多项式环的最大公因式 13

4.3欧几里德整环的最大公因式 14

5 整环上多项式的重因式 15

参考文献 18

致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．19

整环上的多项式环理论

李梦

，China

Abstract: In this thesis, we study the polynomial ring theory in Integral Domain R．The following main results are obtained: (1) It is proved that the polynomial ring on the commutative ring satisfies the "remainder division" (with the first coefficient of the divisor a unit); (2) The polynomial ring in a unique factorization domain has a unique factorization; (3) The polynomial ring over a unique factorization domain has the greatest common factor; (4) For an arbitrary element f(x) in the polynomial ring R[x] over a unique factorization domain R, p(x) is f(x)’s k multiple divisor, then p(x) is the k-1 multiple factor of f(x)’s derivative.

Key words：integral domain; polynomial ring; unique factorization domain; greatest common factor; multiple divisor

引言

整环是抽象代数中的一个基本概念，在离散数学、计算机科学、物理学等学科中有很多的应用．聂灵沼、丁石孙[1]、刘绍学[2]等诸多学者对整环的整除概念有很多的研究，并且获得了一些重要结果^[1]．但是对于整环上多项式环理论没有进行系统的整理与探究．文献[1]提出了交换环都满足“带余除法”（当除式的首项系数为单位时）等整环的整除理论，提出了主理想整环和欧几里德整环，但并未将其进行多项式扩张．

文献[2]提出了Euclid算法，并由此推出分解的唯一性，且对整环的整除性质进行了研究．文献[3]主要是对于在数域上多项式进行了研究，文献[4]给出了域与主理想整环的相关定理．文献[5]主要讨论了多项式的因式分解，着重在根和唯一分解整环上多项式的性质．文献[6]对各种特殊的整环进行了探讨．这些结果对我们研究整环上多项式理论奠定了扎实的基础．

文献[7]～[15]也为文章的行文提供了很多的指导与启发．

本文共分为五个部分．第1部分，给出了数域上多项式的性质、整环上多项式及性质、三类重要整环（唯一分解整环、主理想整环、欧几里德整环）等概念．第2部分，给出整环上多项式满足带余除法的定理及其证明，同时介绍根的性质．第3部分，首先给出反例说明整环上多项式一般不能满足唯一因式分解，其次引入唯一分解整环，发现可以进行因式分解，并且满足高斯定理、艾森斯坦判别法，并由此得到一条关于根的性质．第4部分，对三类不同的整环进行研究，找出多项式环中任意两个元素的最大公因子．第5部分，介绍唯一分解整环中，多项式环的重因式的性质，给出与导数之间关于重因式的关系．