论文总字数：3800字
摘 要
本文给出了三阶线性递归序列的定义，利用三阶线性递序列的递归矩阵，总结了三阶线性递归序列的通项公式和性质，归纳了三阶线性递归序列的部分和序列的通项公式.关键词：三阶线性递归序列，递归矩阵，通项公式，部分和
Abstract：In this paper ,the definition of three-order linear recursion sequence were given , the recursive matrix of three-order linear recursion sequence were used. The properties and the general formulas of three-order linear recursion sequence were concluded .The partial sum sequence of three-order linear recursion sequence were concluded .
Keywords：three-order linear recursion sequence ,recursive matrix, the formula of general term, partial sum sequence
目 录
1 引言…………………………………………………………………………………… 4
2 的基本性质 ………………………………………………………………… 4
3 的通项公式…………………………………………………………………6
4 的部分和性质………………………………………………………… 12
结论 ……………………………………………………………………………… 16
参考文献………………………………………………………………………………17
致谢 ………………………………………………………………………………… 18
1 引言
13世纪文艺复兴时期，意大利著名数学家斐波拉契在《算盘之书》中提出了兔子繁殖问题，并且得到这样一组序列，总结出自然界中最迷人的一个递归关系让递归序列成为数学研究中有趣的课题之一。类似地，我们给定实常数，，（ 其中不等于0），把全体满足递归关系（）的三阶线性递归序列，记为.令矩阵
为的递归矩阵，解得矩阵的行列式，设，，为递归矩阵的特征值.设，记为的部分和序列.
2 的基本性质
性质1 设向量
，，，，
则有
，
其中.
证明 当时，有
，
即
，
成立.
假设 当时成立，即
，
当 时，有
，
而
，
代入得
，
成立，故性质得证.
性质2 当为大于的正整数时，三阶线性递归序列的递归矩阵满足特征方程
，.
证明 因为矩阵的特征多项式为，所以由哈密顿---凯莱定理得，（其中为单位矩阵）.
两边同时乘以，得
，
展开括号得
，
移项得
，，
故性质得证.
性质3 设，那么.
证明 由性质1，
，
可知存在可逆矩阵，使得
，
且
，
，
其中，为的若尔当标准型.则
，
有
，
因而
，
由的特征方程得
，
故性质成立.
3 的通项公式
引理1 设的递归矩阵为，且的特征值，，两两不同，则存在可逆矩阵
，
使得，其中
.
证明 因为矩阵的特征多项式为
即
.
不妨设
，
其中
,
故矩阵的特征值为
,
将代入求得属于特征值的特征向量分别为
，，，
故存在可逆矩阵
，
使得，引理得证.
引理2 设的递归矩阵为，且的特征值为，则存在可逆矩阵
，
使，其中
.
证明 根据特征矩阵的定义，得
，
知的初等因子为，因而存在可逆矩阵
，
使得其中
，
则有，即
，
因而存在
，
即
，
解线性方程组得
（），
特殊地取，有
，
从而引理成立，得证.
引理3 设的递归矩阵为，并且矩阵的特征值，则存在可逆矩阵
，
使得，其中
，（）.
证明 根据引理的证明过程知道，的初等因子为，故存在可逆矩阵
，
使得，其中
，
有，解此方程组得
，
取，有
，
故引理成立.
定理1 设，矩阵的特征值为，且两两不同，则其通项为
证明 由引理1，可得，则而
，
从而得到
，
故定理1成立.
例1 设，求的通项公式.
解 由题可知的递归矩阵
，
根据的特征多项式
，
求得特征值为
因为两两不同，所以根据定理1，可得的通项公式为
.
定理2 设，，且的特征值为则其通项为
证明 根据
，
得
，
而
，
其中
，
得到
，
代入得定理2成立.
例2 设，求的通项公式.
解 由题可知的递归矩阵
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