浅谈e的奥秘

论文总字数：6594字

摘 要

在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常 出现，却不是随着微积分诞生的，而是从财务问题中首次被发现的；无理数不仅在微积分里面时常出现，在复数、概率统计等学科中的应用也很广泛,甚至是在非数学领域中也能看到它的身影.

关键词：对数，极限，欧拉，复数，概率

Abstract：Before the invention of calculus in half a century, this number e has been mentioned, although it often appears in the calculus, it is not with the birth of calculus but from the first discovery of financial problems; Irrational e not only often appear in calculus, but also in the plural, probability and statistics.Even it can be seen i other field that is not mathematics.

Keywords：Logarithm, limit, Euler, plural and probability

目 录

1 前言 4

2 的发现 4

2.1 最早的起源：复利问题 4

2.2 正式被发现：对数函数的微分 5

2.3 的发现人：欧拉 7

3 微积分中的 7

3.1 带有的积分运算 7

3.2 关于的证明题型 8

3.3 级数中的应用 9

4 复数与的关系 10

5 概率统计中的 12

6 现代实际生活中的 13

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 前言

从高中开始，无理数就出现在我们的数学学习中，我们时常见到它，但没有专门研究它. 限于个人的学识水平，笔者仅仅是将关于的浅层的奥秘做一些整理和介绍，希望能够引发读者对数学的兴趣.

取自于瑞士数学家欧拉（Euler）的英文字头. 欧拉首先发现此数并称之为自然数.但是这种所谓的自然数与常见的正整数1，2，3，……截然不同. 确切的讲，应该称为“自然对数的底数”. 是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828…，它是这样定义的：

当时，的极限，即.

在对数刚被发明的时候，皮纳斯建议这样来选择底：使的对数为，使的对数为1. 这样，就会使所有大于的数的对数都是正数. 显然，这就是常用对数^[1].

后来人们在对数的研究中，发现采用以为底的对数比以为底的“常用对数”更为方便. 特别是反应自然界规律的函数关系，若以指数形式或对数形式，则必定是以为底的；在微积分里，如果我们求与的导数，则有，，则不可避免会出现以为底的自然对数，而以为底的指数和对数的导数在形式上要简单的多：，（的阶导数），它是唯一具有此特性的函数. 也正是因为其方便性，使它在数学各分支中都具有重要意义.

2 的发现

在中学时，是在我们学习了对数的基础上直接给出的，当时只是知道它和对数有关，却不知道它是怎么来的. 在我们学习了微积分的基础上，可以很快地通过求极限得出,但在历史上，并不是产生于微积分之后，而是在此之前50年左右.

2.1 最早的起源：复利问题

《威尼斯商人》里刻画了以贪婪和狠心而闻名的高利贷商人夏洛克. 这个历史时期是地理大发现带给欧洲繁荣之后，金融业逐渐发展，高利贷引发的一系列贷款问题. 贷款也自然带来了利息问题.

我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息. 但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高. 有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？

假设我们将本金P元存入银行，获取的复利年利率是r. 这样一来，第一年年末账户中的金额变为,年年末的账户是. 用来表示账户中的总额，可以得到这样一个表达式：

（1）

这个公式只是复利息计算的基础，很多情况并非都是一年计算一次利息. 例如，如果一家银行年利率是，每月计算一次，那么将年利率除以得到期利率，这里也可称月利率. 因此，一年元钱的本金以复利计算了次，每次的利率是，那么总金额就增长为（元），比一年算一次（元）多了约元.

如果一年计算次，其实我们得到了上面公式（1）的一般形式：

（2）

回到前面的问题上来，表现在这个公式上就是的不断增大. 为了方便起见，取特例,此时（2）式变成：

（3）

随着的增大，值的变化越来越小，并且趋近于. 但这在微积分产生之前只是个猜想^[2].

2.2 正式被发现：对数函数的微分

微积分的发现为的发现奠定了基础. 的发现始于微分和对数函数，下面用微分的定义来计算对数函数的导数.

于是，令，则. 当时，，而，从而

.

当逐渐接近零时，计算的值如表2. 2所示：

表2. 2

h	0.1	0.01	0.001	0.0001	……
	2.52374…	2.40481…	2.71692…	2.71814…

可发现其值无限接近于定值2.71828…，它的最早发现人是瑞士著名数学家欧拉，他以自己的名字字头小写字母命名此无理数2.7182….

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