柯西不等式及其应用

论文总字数：6237字

摘 要

关键词：柯西不等式，数学归纳法，线性相关，应用

Abstract: the Cauchy`s inequality is a very important inequality, in elementary mathematics and advance mathematics has a series of application. This paper introduces the concept of Cauchy`s inequality, then use several different methods to prove the Cauchy`s inequality. The last, the paper gives the use of Cauchy`s inequality in the field of mathematics, and the use of their respective proof methods and processes.

Keyword: Cauchy`s inequality, Mathematics induction, linearly dependent, Exception Methods

目 录

1 引言…………………………………………………………………………… 4

2 柯西不等式的形式及其证明………………………………………………… 4

2.1柯西不等式的几种证明方法……………………………………………… 4

2.2柯西不等式的几个特例…………………………………………………… 8

3 柯西不等式的某些应用……………………………………………………… 9

3.1柯西不等式在三角函数中的应用………………………………………… 9

3.2柯西不等式在解析几何中的应用………………………………………… 9

3.3柯西不等式在初等代数研究中的应用…………………………………… 10

3.4柯西不等式在数学分析中的应用………………………………………… 11

3.5柯西不等式在高等代数中的应用………………………………………… 11

3.6柯西不等式在复变函数中的应用………………………………………… 12

3.7柯西不等式在概率论与数理统计中的应用……………………………… 13

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………17

1 引言

柯西不等式是由法国著名的数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的流数问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为 Cauchy-Schwartz[柯西-施瓦茨]不等式。 正由于被这两位数学家彼此独立积极地在微积分学中推广以及其他数学家在科学研究中的不断地运用，所以这一不等式才被应用到非常广泛的地步。该不等式在不同学科领域中的证明方式充分说明了人们思维的灵活性综合性和完备性。柯西不等式是一个很重要的不等式，我们只有加深对其的理解，从不同的角度去探索它的奥秘，才能够做到学以致用，才能够把它作为解决问题的工具和桥梁去解决一些更加复杂和难懂的问题，去探索高深莫测的知识。由于该不等式的重要性，它在初等数学，数学分析，高等代数，概率论，等高等教育知识体系中都有着不同的应用。因此，再次对柯西不等式的研究和证明很有必要也是很有意义的。本文先给出柯西不等式的定义，然后用不同的方法去证明它,最后在给出其在不同的领域的一些常见的应用。

2 柯西不等式的形式及其证明

对于任意两组实数，,有如下结论：

,

当且仅当与(…)对应成比例时候，即 …时候，不等式取等号.我们就把满足上述形式的不等式叫做柯西（Cauchy）不等式.

2.1柯西不等式的几种证明方法

该不等式的形式我们已近得出来了我们如何来证明这个不等式了？首先很容易得出这定理在或时成立，所以在以下证明中，不妨设中至少有一个不是，中至少有一个不是.

证法一：

基本不等式法：

在已知不等式中，令

，，

并取,得到个不等式，一起相加有

，

于是可得

再把上式平方，柯西不等式得证.

证法二：

判别式法：

设实变量的二次函数

由于对任意实数x总有,又得系数是正数，

于是

，

,

由此柯西不等式得证.

证法3：

利用向量内积证明

设，，是和的夹角，

由向量积公式可得；

=，，

故可以得到：

，

即

此时又可以得到：

,即，

柯西不等式得证.

证法4：

用线性相关性证明柯西不等式

设为向量空间，若，，则成立.当且仅当向量与线性相关时,该不等式式取等号.

证明过程如下：

设与线性相关，则存在不全为的实数使得 ，由此就有（其中）将其代入上式，可得到等号成立.

若，线性无关，则对每一个,都有，即至少有一个，使得，于是，

，或者

，

因为，否则线性相关矛盾.

于是就有不全为，且，所以可以得到

即，

于是就可以得到以下结论：

.

如果的等号成立，则和肯定线性相关.

如果和线性不相关，那由可以得到如下结论：

中的等号必定成立.

综上，得证.

证法5：数学归纳法

当时，，不等式显然成立.

设当时候，不等式成立，

即：成立.

下面证明：当时，不等式成立，

当时

因为：

，所以当

时不等式成立.

综上所述，当为一切实数时候，不等式都成立.

柯西不等式得证.

上面几种方法为柯西不等式的几种常见的证明方法，也是深受我们喜爱且能简单接受的几种方法，当然证明柯西不等式的方法远远不止这几种，至于其它的证明方法就在此不一一列举了.

2.2 柯西不等式的几个特例

另外，柯西不等式有的时候不一定用的上面的完整的复杂的形式，还会用到其它的简单的形式，几个常用的特例如下：

若，，则;

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