论文总字数：5906字

摘 要

关键词：化归思想，化归方法，立体几何

Abstract: Transformation thought and method plays a very important role in the process of solving mathematical problems. On the basis of transformation principle, we discuss the application of transformation thought and method in the solid geometry problems such as parallel problem, vertical problem, solving distance problem and angle problem in this paper.

Keywords: transformation thought, transformation method, Solid Geometry

目 录

目 录 3

1 引言 4

2　化归原则 4

2. 1　熟悉化原则 4

2. 2　简单化原则 5

2. 3　和谐化原则 6

2. 4　具体化原则 7

3 化归思想方法在立体几何中的应用 8

3. 1 利用化归思想方法证明平行问题 8

3. 2　利用化归思想方法证明垂直问题 9

3. 3 利用化归思想方法求解角的问题 11

3. 4　利用化归思想方法求解距离问题 13

结 论 16

参 考 文 献 17

致 谢 18

1 引言

化归思想方法在数学问题解决的过程中有着非常重要的作用. 例如，我们可以将二元一次方程组化归为一元一次方程来解决，可以将不规则图形的问题化归为规则图形的问题来解决.

化归思想，顾名思义是一种数学思想，是将未知的问题转化为与已知有所关联的问题，将陌生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将复杂繁琐的问题转化为较为简单的问题，将问题形式不太相同的转化为问题形式较为相近的问题.

化归方法，顾名思义是一种数学方法，它是实现化归思想的具体方法，换句话说化归方法就是将一个数学问题规范化的过程.

化归思想是化归方法的灵魂，化归方法是实现化归思想的 具体方法，我们运用化归思想方法解决问题的一般思路是将要求解的未知的转化为已有固定解答模式的已知，然后通过解决，还原出的解答来.

转化

容易解决的问题B

待解决问题A

问题B的解决

还原

问题A的解决

目前关于化归思想方法的文献不少，但对化归思想方法在某类具体问题中的应用进行研究还是有意义的.

2　化归原则

2. 1　熟悉化原则

熟悉化原则就是指在化归的过程中，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决[^[1]].

例1 如图1，圆锥的母线长度为, 底面圆直径为，轴截面上有两个点已知，，求在圆锥侧面上的两个点之间的最短距离.

图2

图1

分析 求圆锥曲面上两点之间的最短距离是比较困难的，也是我们不熟悉的问题，若沿将圆锥的侧面剪开，根据已知条件我们可以将侧面展开为一半圆（如图2），这样我们就将圆锥曲面上两点的最短距离问题化归为我们熟悉的平面上两点的最短距离问题.从而可轻易获解

2. 2　简单化原则

简单化原则就是指在化归的过程中，我们常常将较为繁杂的问题化归为较为简单的问题来解决.

例2 如图3，的平面角为，在内, , 在平面内于点, , , 是棱上的一个动点，求的最小值.

图3

分析 求当在上运动时的最小值是比较困难的，也是比较复杂的问题. 若能将确定在一个固定的位置，那么的长度也就确定了. 若将二面角折成，即使在同一平面，这时当三点共线时，值最小，这样我们就可以将立体空间内一动点与两个平面内两点间的距离和问题转化，归结为简单的平面上的两点间距离问题. 从而我们轻易得到

故的最小值为.

2. 3　和谐化原则

和谐化原则就是指在化归过程中，我们常常将数与形不和谐的问题化归为更为和谐的形式，或者将其转化为另外一种形式的命题，使其推演的过程或者方法更加得符合我们的思维规律.

例3 如图4，正四面体, 棱长为2，为的中点，为的中点，求与的夹角.

图5

图4

分析 直接求异面直线的夹角是比较困难的，而且它们的表现形式也是不和谐的，我们可以将异面直线的夹角这一不和谐的形式化归为更加符合我们的思维规律、更加和谐的平面角的问题. 为此，只要找到与在同一平面内且平行于的一条直线，就可将异面直线的夹角化归为这条直线与的夹角. 如图5所示，我们连接, 取的中点, 然后连接. 显然，所以的夹角大小就为的大小，在四面体中所有的棱长均为2，所以我们轻易的就可以得到

，

然后利用余弦定理可得

又有条件故

2. 4　具体化原则

具体化原则就是指在化归的过程中，我们总是将较为抽象的数学问题化归为比较直观的或者说是比较具体的数学问题来解决.

例4 如图6，已知四边形均为正方形，分别是上的点，并且求证：

图7

图6

分析 要证明面是比较抽象的问题，我们可以将其化归为证明与平面内的一条直线平行这一更为直观的问题. 为此，如图7所示，延长和的延长线交于一点, 连接. 由于, 故

.

又由条件, , 可得, 于是

.

而故

3 化归思想方法在立体几何中的应用

立体图形中各要素间的位置关系和数量关系常常归结为平面图形的位置关系和数量关系. 因此我们在解决立体几何问题时，可以通过运用化归思想方法将其转化为平面上的几何问题去解决，然后就可以得到我们所求得立几问题的解答.

平几问题

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