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摘 要
本文以多元函数的性质为基础，定义投影函数，探究它的投影函数的连续性、可导性、可积性。得出的结论为投影函数是连续的，可导的，在有限区间上是可积的。关键词：投影函数，连续性，可导性，可积性
Abstract: In this paper, based on the properties of the multivariate function,we define the projection transformation,study it’s continuity ,conductivity, integrability,get the conclusion of the projection function is continuous, differentiable,and integrable on a finite interval.
Keywords: Projection function,Continuity, conductivity, integrability.
目 录
1引言 ………………………………………………………4
2 关于多元函数的连续性、可导性、可积性的一些相关结论………………4
3投影函数……………………………………………………5
4 投影函数的连续性……………………………………………………5
5 投影函数的可导性……………………………………………………6
6推论………………………………………………………6
7应用…………………………………………………7
结论……………………………………………………………………………10
参考文献……………………………………………………………11
致谢……………………………………………………………………12
1 引言
多元函数的性质是数学专业学习中的一个重点和难点，那么多元函数经过投影变换后，它的投影函数是否还具备多元函数的连续性、可导性、可积性呢？本文仅就二元函数的投影变换的投影函数的性质进行探究，得到了比较满意的结果。一般的多元函数的投影函数的讨论也可类似处理．
2 关于多元函数的连续性、可导性、可积性的一些相关结论
结论1 含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列，函数项级数
在上一致收敛.
结论2 设级数绝对收敛，且其和等于，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.
结论3 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续.
结论4 若函数与其偏导数都在矩形区域连续，则
在上可微，且
．
结论5 若函数项级数在上每一项都有连续的导函数，为的收敛点，且在上一致收敛，则
．
结论6 若为上的连续函数，则在上可积.
3 投影函数
定义 设是定义在上的二元函数，若，无穷积分存在，则称
为在轴上的投影函数.
类似地，为在轴上的投影函数.
4 投影函数的连续性
定理1 无穷积分绝对收敛且关于一致收敛，又在上连续，则投影函数在上连续．
证 对于任意，存在区间，使得
由于
在上绝对收敛且关于一致收敛，所以和均收敛，且在上关于一致收敛.
由结论1 对任一递增且趋于的数列
，
．
由结论2得
在上一致收敛．由结论3得投影函数在上连续．由于是上任意一点，所以投影函数
在上连续．
类似地，投影函数在上连续．
5 投影函数的可导性
定理2 在上收敛，绝对收敛且关于一致收敛，又在上可导，则投影函数在上可导，且
．
证 对于任意，存在区间，使得，对任一递增且趋于的数列，令
，．
由结论4推得
，．
由在上一致收敛及结论1得
，
在上一致收敛．由结论2得
在上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得
．
所以投影函数在可导．由于是上任意一点，所以投影函数
在上可导．
类似地，投影函数在上可导．
6 推论 无穷积分绝对收敛且关于一致收敛，又在上连续，则投影函数在上可积．
7 应用
例1 函数，它的投影函数是否连续，可导，在区间上可积？
证 由题意易知
函数在上是连续的
当时,有
，
．
其他，，.
由上易知投影函数，在都是连续的．
，
，
由定理2知投影函数，在都是可导的．因为投影函数，在都是连续的，即在上必连续．因此投影函数，在上是可积的．
例2 设函数，试求它的投影函数，并说明投影函数是否
连续．
解 当或时，有.而当0lt;lt;1时，有
．
所以在轴上的投影函数为
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