浅谈行列式的计算

论文总字数：4755字

摘 要

关键词：行列式，范德蒙行列式，泰勒公式，特征值

Abstract: In this paper, we introduce some methods for calculations of determinants, and according to different problems, we choose appropriate methods to simplify the solving steps of problems.

Key words: determinant，Vandermonde determinant，Taylor formula, characteristic value

目 录

1 引言 3

2 定义及相关性质 4

2.1 定义 4

2.2行列式的性质 4

3 行列式计算的若干方法 5

3.1 化三角形法 5

3.2 降阶法 （按行（列）展开法） 6

3.3 升阶法（加边法） 7

3.4 利用范德蒙行列式 8

3.5 递推法 8

3.6 数学归纳法 9

3.7 拆分法 10

3.8 析因法 12

3.9 行列式乘积法 14

3.10 导数法 14

3.11 利用矩阵行列式公式 15

3.12 利用方阵特征值与行列式的关系 17

结 论 21

参 考 文 献 22

致 谢 23

1 引言

行列式是高等代数中的重要概念，运用十分广泛，通常用在克莱姆法则求解线性方程组.三点共线和三向量工面也是运用行列式来证明的，在线性代数中二次型和矩阵也会用到行列式，故能够准确的求得行列式的值十分重要.因此归纳和总结计算行列式的方法与技巧是十分重要的，再根据题目特点选择恰当的计算方法.

2 定义及相关性质

2.1 定义

定义1 级行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

的代数和，这里是1,2…的一个排列，若是偶排列 ，则式带有正号，若是奇排列，则式带有负号.这一定义可写成

，

这里表示对所有级排列求和.

定义2 行列式

称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式．

2.2行列式的性质

性质1

.

性质 2 行列互换，行列式不变.

性质 3 如果行列式中有两行（列）相同或成比例，那么行列式为零.

3 行列式计算的若干方法

3.1 化三角形法

化三角形法是指利用行列式性质将其化成上（下）三角形，它是由定义法引申出的求解行列式的常用方法.

其中有行（列）和相等型，“爪”型，“滑梯”型等可以化为三角型.

例1 计算级行列式

.

分析 这个行列式的特点是行和为.

解 将的后列加到第一列，再把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍.

.

3.2 降阶法 （按行（列）展开法）

将行列式按某一行展开或将按某行展开，将较高阶的行列式化成较低阶的行列式.

设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或　

其中为中的元素的代数余子式.

例2 计算行列式

.

解 设原行列式为，按第五行展开得

.

3.3 升阶法（加边法）

升阶法是指将n阶行列式增加一行一列变成n 1阶行列式，使它变成更容易计算的行列式.

例3 计算行列式

.

分析 这个行列式每列都有相同的因子2，3，从而考虑加边法.

解 将D添上一行一列，然后将最后一列依次加到前面各列.

,

将以上行列式逐列交换

.

3.4 利用范德蒙行列式

例4 计算行列式

.

分析 观察这个行列式发现与范德蒙行列式很相似，但是还是有所不同，通过加边法可以使其变为范德蒙行列式.

解 将添上一行一列补成一个范德蒙行列式

=

=,

中的的系数是

.

3.5 递推法

应用行列式的性质，将阶行列式用较低阶的形状与完全一样的行列式来表示，这种方法称为递推法.

a)如果n阶行列式满足关系式：.一般通过寻找以,为未知量的二元一次方程组，解出.

b)如果n阶行列式满足关系式：，则作特征方程.

若特征方程的判别式，则特征方程有两个不相等的根：.其中A，B为待定系数，令n=1,2,求出A，B.

若特征方程的判别式，则特征方程有两个相等的根：. 其中A，B为待定系数，令n=1,2,求出A，B.

例5 求n阶行列式

解 由于

，

作特征方程 它的两个根为2,3 .

令

，

令n=1,2 可得

，

解得A=-4，B=9 .所以.

3.6 数学归纳法

数学归纳法常与递推法一起使用，用递推法得到递推公式，再用数归法分析，可得出结论.一般情况，如果对角线元素是相同的，则用数学归纳法求解比较容易.

例6 证明

.

证明 按最后一行展开得,

当时，，命题成立.

当时，成立.

假设当时，命题成立.

则当时，

　　　　　　　　　.

3.7 拆分法

拆分法是指如果行列式有一行（列）中的每一个元素都能写成两个元素的和，则可以将其拆成两个行列式的和，以达到简化计算的效果.

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