浅谈导数在中学数学中的应用

论文总字数：5144字

摘 要

关键词：导数，极值，最值

Abstract: This paper mainly introduces the definition of derivative, geometric meaning, and extreme value of the discriminant conditions to solve the problems about the derivative in the middle school mathematics．

Key words: Derivative，Extremum，Maximum and minimum

目 录

1． 前言…………………………………………………………………… 4

2． 导数的定义及几何意义……………………………………………… 5

3． 极值的判别条件……………………………………………………… 6

4． 导数在高考题中的应用……………………………………………… 7

4．1 利用导数的单调性求最值…………………………………………… 7

4．2 利用导数证明不等式………………………………………………… 9

4．3 实际问题中的函数最值……………………………………………… 10

结论………………………………………………………………………… 12

参考文献…………………………………………………………………… 13

致谢………………………………………………………………………… 14

1 前言

导数它是我们数学分析的重要组成部分，并且它是以极限作为理论基础．它的产生就来源于我们的生活，与此同时又作用于我们的生活，不仅促进了自然科学的发展，也促进了生产技术的提高．所以说学习和研究导数对我们的学习生活具有深远的意义，在中学数学中有许多数学题都可以用导数的方法来求解，并且在近几年高考数学中利用导数求解的数学题也在难度、深度和广度上逐渐加大．所以接下来一起探讨导数．

法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题引入了导数，这也是导数思想产生的来源．到了十七世纪，许多科学问题需要人们去解决，这些问题也就是促成导数产生产生的因素^[1]．归结起来，大约有两类问题，第一类，已知时间与路程的关系求速度的问题． 假设一质点做直线运动，时间与路程的函数关系式为． 若为某一确定的时刻，为邻近于的时刻，则

是质点在时间段（或)上的平均速度．若时平均速度的极限存在，则称极限

为质点在时刻的瞬时速度． 第二类，求曲线的切线问题， 即切线的斜率问题．

如图，曲线在其上一点处的切线是割线的动点沿此曲线无限接近点时的极限位置．由于割线的斜率为，因此当时若的极限存在，则极限

即为切线的斜率．

以上的两类问题分别是由英国数学家以及物理学家牛顿（L．Newton,1643-1727）和德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz,1646-1716)分别在研究运动学和几何学中建立起来的^[2]．

清楚了导数产生的背景之后，接下来本文将从导数的定义、几何意义以及导数在中学数学题目解答中，涉及到极值与最值的应用这几个方面组织本文，首先来探究导数的定义及它的几何意义．

2 导数的定义及几何意义

（1）定义1

如果函数在点的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在点处可导，该极限即为函数在点处的导数，并记作．

（2）定义2

如果函数在点的某右邻域内有定义，若右极限

存在，该极限值即为在点的右导数，并记作．

类似地，左导数我们也这样定义，如下

在这里我们可以将左、右导数统称为单侧导数．并且有这样的一个定理: 若在点处可导，就有在点处的左导数与右导数同时存在并且它们的值相等．

（3）导函数

若函数在它的一个开区间内的每一点都是可导的（对于区间的端点，只需要看相应的单侧导数），那么我们就可称该函数在区间内可导．此时对任意一个，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应．这就定义一个在上的

函数，称为在上的导函数，也称为导数．记作、或，即

，

（4）几何意义^[3]

函数在点的切线斜率正是割线斜率在时的极限，即

由导数的定义，，所以曲线 在点的切线方程是

也就是说：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率．

若表示这条切线与轴正向的夹角，则

(1) ，切线与轴正向的夹角为锐角．

(2) ，切线与轴正向的夹角为钝角．

(3) ，切线与轴平行．

利用导数可以求函数的极值以及最值，为了方便使用，下面我们给出一些极值判别条件．

3 极值的判别条件

引理1^[4](费马定理) 设函数在点的某领域内有定义，且在点可导．若点为的极值点，则必有

命题1^[4]（极值的第一充分条件） 设在点连续，在某邻域内可导．

1. 若当时，当时，则在点取得极小值．
2. 若当时，当时，则在点取得极大值．

命题2^[4]（极值的第二充分条件） 设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，．

(i) 若，则在取得极大值．

(ii) 若，则在取得极小值．

例^[3]：求的极值点与极值．

解析 当时，．令，求得稳定点

又因　所以由命题2知，为的极小值，极小值

下面我们来看导数在近几年高考试题中的应用．

4 导数在高考中的应用

近几年应用导数求解极值、最值已成为高考热点问题．在高考试卷中每年大约有的这方面的题目．基于导数在高考数学中的突出性，下面我们来探究在高考中导数的一些有关极值、最值、不等式的应用．

首先了解一下什么是最值，极值与最值有什么关系？

极值与函数在闭区间端点的函数值中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 下面就来利用导数的单调性求最值:

4．1利用导数的单调性求最值

例1 (2011．江苏高考卷）　已知，是实数，函数， ，和是和的导函数． 若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．

（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；

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