抽屉原理及其在数学中的应用

论文总字数：9920字

摘 要

：抽屉原理是组合数学中一个重要的基本理论．本文介绍了抽屉原理的常见形式．通过构造出满足抽屉原理的数学对象，利用抽屉原理，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化．有时抽屉原理能使得这些问题打破常规，另辟蹊径，巧妙解题．

关键词：抽屉原理，构造法，抽屉

Abstract: Drawer principle is an important basic theory in combinatorics. This paper introduced common forms of drawer principle. A mathematical object can be structured which complies with drawer principle, or get a new problem form to draw whether the conclusion is wrong or right. By solving these problems in drawer principle, normal orders are broken and prefect conclusions are easier to get sometimes.

Key words: drawer principle, structure rule, drawer

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………………………… 4

2 抽屉原理…………………………………………………………………………………… 4

2.1 抽屉原理的一般含义 …………………………………………………………… 4

2.2 抽屉原理的四种形式……………………………………………………………… 4

2.3 抽屉原理的解题特征与关键…………………………………………………… 5

2.4 运用抽屉原理解题的四种常见题型……………………………………………… 6

3 抽屉的构造方法……………………………………………………………………… 6

3.1 利用整数性质……………………………………………………………………… 6

3.2 利用几何元素构造抽屉……………………………………………………………… 8

4 抽屉原理解题步骤小结………………………………………………………………… 9

5 抽屉原理在数学中的应用………………………………………………………………10

5.1 解决高等代数中的问题………………………………………………………………10

5.2 解决近世代数中的问题………………………………………………………………11

5.3 解决离散数学中的问题………………………………………………………………12

5.4 解决组合数学中的问题………………………………………………………………12

5.5 解决几何中的问题………………………………………………………………… 13

5.6 解决数论中的问题………………………………………………………………… 13

结论 ………………………………………………………………………………………………15参考文献………………………………………………………………………………………16

致谢……………………………………………………………………………………………17

1 引言

抽屉原理，又叫鸽笼原理，是组合数学中原理之一．它反映了整数最基本的性质，在数论、组合和其他学科中有着广泛的应用，用它还可以解决生活中遇到的很多有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果．本文分析了抽屉原理在数学的应用，讨论抽屉的构造方法及在几个数学问题中的应用．

2 抽屉原理

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如“将个苹果放进个抽屉里，至少有个抽屉里有个苹果”，“个人中至少有两个人出生在相同月份”，这一类存在性问题中，“存在”的含义就是“至少有一个”．在解决这类问题时，只需证明存在，不需证明是哪一个，也不需确定通过什么方式把这东西找出来．这类涉及到的运算较少，我们把这些理论称之为“抽屉原理”．

2.1 抽屉原理的一般含义

抽屉原理又称重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理是狄利克雷建立的，“狄利克雷抽屉法”指出：“如果在个抽样中，存在个事件，那么至少在一个抽屉中含有两个或两个以上的事件”．这是首次以明确的语言来表述的抽屉原理，因此抽屉原理也称为狄利克雷原理．

2.2 抽屉原理的四种形式

(1) 抽屉原理的简单形式^[1]

设是有限集，，()，且，则必有正整数，使得．

证明 用反证法．

设()．由定理，有

，

这与的假设矛盾，所以必有正整数，使得．

抽屉原理的简单形式的语言可表述成：如果只鸽子飞进个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有只鸽子．

(2) 抽屉原理的一般形式

设是（）元素，()，且，则必有正整数，使得．

证明 用反证法．

设()，则()，从而

，

这与的假设矛盾，所以必有正整数，使得．

抽屉原理的一般形式的语言表述：如果（）只鸽子飞进个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有只鸽子．

(3) 抽屉原理的加强形式

设是有限集，都是正整数．如果，()，且，则必有正整数，使得．

证明 若不然， ()，此时

=，

这与矛盾，所以必有正整数，使得．

(4) 抽屉原理的无限形式

把无穷多件物体放进个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体．

证明（反证法） 假设个抽屉中放进物体的个数是有限个，则个有限数相加所得数必是有限数，这与题设相矛盾，故假设不成立．

2.3 抽屉原理的解题特征与关键

抽屉原理的解题特征：题目中含有可以构造抽屉的元素，根据元素特征构造抽屉，把元素放入抽屉，运用抽屉原理解题．

运用抽屉原理解题的关键是：构造抽屉，然后利用抽屉原理解决问题．

2.4 运用抽屉原理解题的四种常见题型

(1) 直接运用原理 题目中已知的条件符合抽屉原理中的要求，可以直接应用原理解决问题．

(2) 逆用原理 题目中已知的条件符合抽屉原理的结论，题目中缺少应用抽屉原理的条件，然后求解符合应用抽屉原理的条件的题型．

(3) 构造抽屉运用原理 题目中已知的条件于抽屉原理需要的条件没有必然的关系，然后根据题目中的条件构造抽屉，将元素放入抽屉中，最后应用抽屉原理解决问题的题型．

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