论文总字数：58089字
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\begin{center}{\heiti\zihao{3} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要}
{\songti{\quad
%抽象代数研究一般对象之间的运算规则和代数结构，由于对象选取的任意性，不论在理论研究还是在实际应用中，抽象代数都有重要地位，代数与计算机和通信的联系越来越紧密.
%\par
环论是代数学中一个重要的分支,\ 其中模$n$的剩余类环已被研究得较为透彻.\ 环扩张是一种生成新的环结构的重要途径,\ 新环也许具有一些特殊性质,\ 环$R$关于自身的平凡扩张$R\propto R$是一种重要的环扩张,\ 常用于举反例.\ 本文第一章介绍了一些环论中的基本概念定理以及关于平凡扩张的几个一般性结论.\ 因为有结论:\ 当$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{s}^{e_{s}}$时有$Z_{n}\propto Z_{n}\cong (Z_{p_1^{e_1}}\propto Z_{p_1^{e_1}})\times...\times(Z_{p_s^{e_s}}\propto Z_{p_s^{e_s}})$,\ 于是问题转化为对$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的研究.
%本文最终证明了当$e_i\leq 3$时，$Z_{n}\propto Z_{n}$共有$3^{m_1}(p 5)^{m_2}(3p 7)^{m_3}$ 个理想，其中$m_1,m_2,m_3$分别为$e_i$中1,2,3的计数.
\par 本文第二章着重研究$Z_{p^k}$的平凡扩张环$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的理想性质及分布.\ 2.1节中证明了$k=1$时$Z_{p}\propto Z_{p}$有且仅有3个理想,\ 他们成链状分布.\ 2.2节和2.4节分别计算了特例$Z_{4}\propto Z_{4}$和$Z_{8}\propto Z_{8}$的所有理想,\ 并给出了分布图.\ 2.3节证明了$k=2$时$Z_{p^2}\propto Z_{p^2}$有且仅有$p 5$个理想,\ 并且给出了它们的表达式和分布图.\ 2.5节先证明了$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$至少有$\frac{(k 1)(k 2)}{2} (2k-3)(p-1)$（$k\geq 3$）个理想,\ 之后证明了$k=3$ 时上式可取等号,\ 即$Z_{p^3}\propto Z_{p^3}$有且仅有$3p 7$个理想,\ 另外，在这些理想中还存在一个理想不是主理想,\ 这意味着主理想环关于自身的平凡扩张未必是主理想环.\ 至此,\ 综合上文得到了最终的结论：当正整数$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{s}^{e_{s}}$ 且$1\leq e_{i}\leq 3$ 时,\ 则$Z_{n}\propto Z_{n}$共有$\prod_{i=1}^{s}f(p_i^{e_i})$个理想,\ 其中函数$f$的定义为对任意素数$p$:$f(p^1)=3,f(p^2)=p 5,f(p^3)=3p 7$.\ 本文最后讨论了$k$ 取任意整数时$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的一些一般性质.
\vskip 1cm \noindent{\kaishu 关键词: \ \ 剩余类环,\ 理想,\ 平凡扩张}
\newpage
\thispagestyle{plain}
\begin{center}{\rm\zihao{3} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
The ring theory is an important subject in algebra. In ring theory the residue class ring modulo $n$ has been well studied. Extension is an easy way to obtain new rings which may possess interesting properties. The trivial extension of ring $R$ is an important extension, usually used to give counterexamples. In chapter one of this paper, some basic definitions and theories in ring theory and in trivial extension are introduced. It is known that if $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{s}^{e_{s}}$, then $Z_{n}\propto Z_{n}\cong (Z_{p_1^{e_1}}\propto Z_{p_1^{e_1}})\times...\times(Z_{p_s^{e_s}}\propto Z_{p_s^{e_s}})$. So the research attributes to the study of $Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$.
%The end of this paper proves that when $e_i\leq 3$, $Z_{n}\propto Z_{n}$has altogether $3^{m_1}(p 5)^{m_2}(3p 7)^{m_3}$ ideals, where $m_1,m_2,m_3$ is the number of 1,2,3 in $e_i$.
\par
In chapter two, focus is put on the distribution of ideals of $Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$. In section 2.1, it is proved that when $k=1$, $Z_{p}\propto Z_{p}$ has altogether 3 ideals forming a chain. In section 2.2 and 2.4, two special examples $Z_{4}\propto Z_{4}$ and $Z_{8}\propto Z_{8}$ are studied and all of their ideals are given. In section 2.3, it is proved that when $k=2$, $Z_{p^2}\propto Z_{p^2}$ has and only has $p 5$ ideals. Meanwhile, their distribution and expressions are given. In section 2.5, first it is proved that $Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$ has at least $\frac{(k 1)(k 2)}{2} (2k-3)(p-1)$($k\geq 3$) ideals. Then it is proved that when $k=3$ the equality holds, $Z_{p^3}\propto Z_{p^3}$ has altogether $3p 7$ ideals. Besides, among them a non-principal ideal is found, which means that the trivial extension of a principal ideal ring has not to be a principal ideal ring. Above all the final conclusion is given: if $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{s}^{e_{s}}$ and $1\leq e_{i}\leq 3$ for all $i$, then $Z_{n}\propto Z_{n}$ has altogether $\prod_{i=1}^{s}f(p_i^{e_i})$ ideals, where function $f$ is given by $f(p^1)=3,f(p^2)=p 5,f(p^3)=3p 7$ for all prime number $p$. At last some general properties of $Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$ are given.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm Key Words:\ residue class ring,\ ideal,\ trivial extension}
\tableofcontents
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\mainmatter %从 \frontmatter 到 \mainmatter 处的内容可在目录中出现但不编章号
\chapter{绪论及相关概念}
\section{引言}
{Galois在1832年第一次运用群的概念彻底解决了高次代数方程求根公式存在性的问题,\ 被认为是抽象代数的创始者.\ 抽象代数研究一般元素间的运算结构而不在意具体对象,\ 使它可以应用于不同的领域,\ 布尔代数是现代计算机理论基础之一,\ 有限域被应用于通信编码.
\par 抽象代数有群、环、格、模、Galois理论等众多分支,\ 本文主要应用了环和模的性质.\par 环和理想的概念起于19 世纪,\ Dedekind和Kronecker在他们的著作中对其做了早期的研究.\ 但其抽象理论的公理化是由Noether在20世纪早期完成的.\par 环的原始雏形是整数集合,\ 另一来源是代数数论,\ 由此自然地引向了交换环理论的研究.\ 对于交换环的一般研究来源于Noether,\ 她对一般Noether 环进行公理化,\ 证明了准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础,\ 直至1926年,\ Noether的理论就是现代数学中环和理想的系统理论,\ 从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布变为研究一般元素的运算规律和代数结构,\ 完成了古典代数到抽象代数的本质的转变,\ Noether被人们誉为抽象代数的奠基人之一.\par 第一章2、3节介绍了环论中部分重要内容,\ 为后文内容铺垫.\ 第4 节介绍了模$n$ 剩余类环$Z_n$的定义和性质,\ $Z_n$已被研究的较为透彻,\ 文中直接引用文献[2]中的结论,\ $Z_n$的单链状理想分布使得扩张后的环的理想也有较好的包含关系.\ 20世纪中后期至今,\ 数学家已发现、构造了200 多种代数结构,\ 扩张是一类得到新的代数结构的重要途径,\ 环的平凡扩张是一类重要的环扩张,\ 常用于构造反例,\ 本章第5节介绍了平凡扩张的定义和几个一般性结论,\ 其中最重要的是：当$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{s}^{e_{s}}$时有$Z_{n}\propto Z_{n}\cong (Z_{p_1^{e_1}}\propto Z_{p_1^{e_1}})\times...\times(Z_{p_s^{e_s}}\propto Z_{p_s^{e_s}})$,\ 于是问题归结为对$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$ 的研究.
\par 扩张后的环的性质结构与原环密切联系,\ 环的结构可以由理想切人.\ 剩余类环的理想已被广泛研究,\ 通过对剩余类环平凡扩张的理想分布的研究,\ 可以对平凡扩张有更好的理解.\ 对扩张后的环结构的研究也具有一定理论价值和潜在的计算机领域的应用价值.
\par 本文第二章由特殊到一般地研究了$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的理想的性质及分布.\ 2.1节证明了定理2.1：$Z_p\propto Z_p$有且仅有3个理想，它们成链状分布.\ 2.2 节和2.4 节分别计算了$Z_4\propto Z_4$和$Z_8\propto Z_8$的理想分布,\ 由于$Z_n\propto Z_n$有有限阶,\ 它的理想必定可以有限生成,\ 这两节中先计算了主理想,\ 然后对它们做有限和运算就得到了所有理想.\ 在2.3节对$Z_{p^2}\propto Z_{p^2}$ 的研究中运用了相同的思路,\ 计算出了所有$p 4$个主理想的表达式后做和运算,\ 最后证明了定理2.4：$Z_{p^2}\propto Z_{p^2}$共有$p 5$个理想,\ 并给出了分布图.\ 但在2.5 节中发现该思路无法得到一般结论,\ 对一般的$p$和$k$难以通过计算得到理想.\ A.R.Nasr-Isfahani 和A.Moussavi在2010年文献[7]中给出了$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的一类特殊理想,\ 本文在这些特殊理想之间又找到了许多不同的主理想,\ 通过这个方法,\ 2.5节证明了定理2.7：$Z_{p^3}\propto Z_{p^3}$共有$3p 7$个理想,\ 以及命题8：当$k\geq 4$时，$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$至少有$\frac{(k 1)(k 2)}{2} (2k-3)(p-1)$个理想.\ $k\geq 4$时由于理想结构复杂,\ 难以找到所有理想,\ 故2.5 节的最后讨论了一些$Z_{p^k}\propto Z_{p^k}$的一般性质,\ 如它是局部环,\ 它的不可逆元集是唯一的极大理想、唯一的素理想,\ 它的所有真理想都是幂零理想.
}
\section{群、环、模}
{
本章中大部分定义命题来自文献\cite{3}\cite{5}
\begin{defi}群： 给定一个非空集合$G$以及$G$上的二元运算“·”（不致引起混淆时可简略不写）：$G\times{G}\rightarrow{G}$，若有
\\ 1）$\forall{a,b}\in{G}, {ab}\in{G}$（封闭性）;
\\ 2）$\forall{a,b,c}\in{G},{(ab)c=a(bc)}$（结合律）;
\\ 3）$\exists{1}\in{G,}\forall{a}\in{G,1a=a1=a}$（称1为单位元）;
\\ 4）$\forall{a}\in{G,}\exists a^{-1}\in{G,}$使得${a}a^{-1}=1$（存在逆元）;
\\ 则称$G$是一个群，记为（$G$,·）.\end{defi}
\begin{defi}交换群（Abel群）：若群$G$关于·满足交换律，即$\forall{a,b}\in{G,ab=ba}$，则称$G$为一个交换群.\end{defi}
\begin{defi}循环群：若$G$是群，$a\in{G}$，记$\langle{a}\rangle=\{a^{n}|n\in{Z}\}$，可以验证这构成群，称为由$a$生成的$G$ 的循环子群. 若存在$a\in{G}$使得$G=\langle{a}\rangle$，则称$G$为循环群.\end{defi}
\begin{defi}有限群的阶：有限群的元素个数称为有限群的阶，记为$|G|$.\end{defi}
\begin{defi}环：给定一个非空集合$R$，在$R$上定义两个二元运算，分别称为加法“ ”和乘法“·”.若有
\\ 1）（$R$, ）是交换群;
\\ 2）$R$关于乘法·满足结合律：$a(bc)=(ab)c$
\\ 3）$R$关于加法和乘法满足分配率：$a(b c)=ab ac$以及$(b c)a=ba ca$
\\ 则称$R$是一个环，记为（$R$, ,·）.\end{defi}
\par 若环$R$关于乘法满足交换律，则称$R$为一个交换环. 若$R$中存在元素1，使其对任意的$a\in{R,a1=1a=a}$，则称$R$ 是一个有单位元1的环，称1为$R$的单位元. 对于有单位元1的环和$a\in{R}$，若存在$b\in{R}$使得$ab=ba=1$，则称$a$是$R$的一个可逆元，$b$是$a$的逆，且是唯一的，记为$a^{-1}$. 若$R$中有非零元，且所有非零元皆可逆，则称$R$为\textbf{除环}，交换的除环称为\textbf{域}. 加群（$R$, ）中的单位元在环$R$ 中称为零元，记为0. 加群（$R$, ）中的逆元在环$R$ 中称为负元，记为$-a$.
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