Finsler流形上的和乐群研究

论文总字数：23289字

摘 要

本文通过分析具有有限维结构李群的主丛上的和乐群，研究了一类特殊的Finsler流形的和乐群——Berwald流形的和乐群，描述了和乐群与曲率形式之间的关系。

文章首先介绍了主丛上的竖直分布和水平分布，通过水平分布定义了主丛上的联络和联络形式，进而得到平行移动与和乐群的定义。除此之外，文章还给出了主丛上曲率张量的表达式。接下来的章节主要证明了主丛上的和乐定理：对于任意，零伦和乐群的李代数可以由所有可与水平相连的点处的曲率形式张成。和乐定理揭示了曲率形式与平行移动以及和乐群的深刻关系。

由于黎曼流形的和乐群是线性群的李子群，因此可以通过流形的标架丛（主丛）将流形上的和乐群与主丛上的和乐群联系在一起。又因为在任意Berwald流形上存在一个黎曼度量，使得该黎曼流形的和乐群与原Berwald流形的和乐群相同。由此我们得到了Berwald流形上的和乐定理。

关键词：Berwald流形，和乐群，和乐定理，曲率形式

ABSTRACT

In this paper, we studied the holonomy group of Berwald manifold, which is a kind of special Finsler manifold, by researching the holonomy group of principal bundle. We explored the relationship between the holonomy group and the curvature form.

First we defined the vertical distribution and horizontal distribution on the principal bundle, and defined the connection and connection form through the horizontal distribution. Then we obtained the definition of parallel translation and holonomy group. At last, the article gave the expression of the curvature form on the principal bundle. The following chapter mainly proved the holonomy theorem on the principal bundle: for any , the Lie algebra of the null holonomy group can be generated by the curvature form at all points which can be connected to the by horizontal curve. The holonomy theorem reveals the deep relationship between the curvature form and the holonomy group.

Since the holonomy group of Riemannian manifold is a Lie Subgroup of Linear Group , we can associate the holonomy group of the Riemannian manifold with the one of the frame bundle (principal bundle). And because for any Berwald manifold, there is a Riemannian metric on it satisfying that the holonomy group of the Riemannian manifold is the same as the one of the original Berwald manifold. From this we obtained the holonomy theorem on the Berwald manifold.

KEY WORDS: Berwald manifold, holonomy group, holonomy theorem, curvature form.

目 录

摘要………………………………………………………………………………………… Ⅰ

Abstract …………………………………………………………………………………… Ⅱ

1. 引言………………………………………………………………………………… 1
2. 基础知识…………………………………………………………………………… 3

2.1 黎曼流形上的和乐群…………………………………………………………… 3

2.2 Finsler流形的相关定义……………………………………………………… 3

1. 主丛上的联络与和乐群…………………………………………………………… 7

3.1 纤维丛和主丛上的基本概念…………………………………………………… 7

3.2 主丛上的联络与和乐群 ……………………………………………………… 9

3.3 主丛上的曲率形式 …………………………………………………………… 11

1. 和乐定理…………………………………………………………………………… 14
2. Berwald流形上的和乐群………………………………………………………… 19

致谢………………………………………………………………………………………… 21

参考文献（References）………………………………………………………………… 22

1. 引言

和乐群是定义在微分流形上的概念，由著名几何学家Elie Cartan引进的。和乐群可以以一种非常自然的方式引入：首先在流形上定义（仿射）联络，由联络定义出平行移动，进而得到沿回路的平行移动产生的群，即为和乐群。因此和乐群的性质与联络的定义以及平行移动的过程之间存在紧密的联系。例如黎曼流形上的黎曼联络是无挠且度量相容的，这决定了黎曼流形上的和乐群是正交群的子群。

Cartan认为和乐群可以深刻地反映黎曼流形的某些性质，因此也许可以用来对黎曼流形进行分类。但是在之后的二十多年里，除了Cartan自己发表的一篇文章系统研究了对称空间的和乐群外，并没有其他关于和乐群的显著成果。因此和乐群逐渐被人们冷落。

直到在1950年的国际数学家大会上，陈省身同样表示了对于和乐群的重视，认为和乐群对于流形的分类具有重要的意义。Cartan和陈省身如此重视和乐群的原因可能在于：自19世纪起，几何学家就向往通过代数方法和拓扑不变量来对流形进行分类。例如代数拓扑中利用同伦群和同调群实现了对闭曲面的分类。流形上的基本概念都是用分析的方法定义的，和乐群是一个李群却深刻地反映了流形上联络和平行移动的性质。无论从实用性还是美感上来讲，都不难理解几何学家对于和乐群的重视。

在这之后，最早的基本结果之一是1952年的Borel和Lichnerowicz定理[1]，证明了一个单连通黎曼流形上的和乐群是正交群的闭李子群。此后在1955年Berger对黎曼流形上的和乐群进行了完全的分类。但是很遗憾，Berger分类定理表明黎曼流形上的和乐群只有八个大类，种类实在太过有限，无法对黎曼曲面作出有效的分类。所以在这之后人们对和乐群的兴趣大大减弱。

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