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论文总字数：14760字

目录

1.引言 1

2.广义零阶矩 2

2.1.传统矩 2

2.2.广义零阶矩 2

2.3.广义零阶矩的性质 4

3.基于广义零阶矩的仿射不变量提取 4

3.1.仿射变换 4

3.2.广义零阶矩的仿射不变性 6

4.实验结果 8

4.1.仿射不变性的测试 9

4.2.抗噪性能的测试 10

4.3.目标识别 12

5.结论 14

参考文献 14

致谢 16

广义零阶矩

赵华为

，China

Abstract：Moment method is the widely used technique for the extraction of invariant features.But moments become very noise sensitive with increasing order. The zero order moment, which is the lowest order moment can only be used to normalize quantity derived by other moments for achieving invariance. In this paper, the zero order moment is studied from a different perspective. It is reviewed in polar coordinate system. Then, zero order moment is in fact the area of region enclosed by a closed curve. Generic zero order moment (GZOM), which is the generalization of traditional zero order moment, is defined as the area of region enclosed by closed curve with parameters. Conditions on these parameters have been developed such that affine invariants can be constructed by these GZOMs. Experiment results demonstrate that the affine invariants constructed by lower degree GZOMs have stronger robustness than using traditional moments.

Key words：Affine transformation, generic zero - order moment, invariant, feature extraction, robustness.

1 引言

通常情况下，透视变换可用于对目标进行建模，如果物体的深度足够小，则透视变换可以利用仿射变换近似[1，2，3]。仿射变换包括缩放、平移和旋转以及斜切，而相似变换只是仿射变换的一个特殊情况[3]。

矩不变量是目前提取不变特征最常用的方法，用于不变特征提取的技术可以分为两大类：基于区域和基于轮廓[4]。尽管基于轮廓的方法计算量小，但该类方法只能用于具有单轮廓的对象。因此，我们需要研究基于区域的方法，而矩方法就是最常用的基于区域的方法。自从Hu[5]在图像处理和模式识别中引入了矩，目前已经开发了多种基于矩的方法以提取不变特征。常用的仿射矩不变量（AMI）[3，6，7]便是传统矩不变量的扩展。

AMI的核心是根据图像中任意两点的“交叉积”来定义:。Suk和Flusser在文[7]中通过图形方法构造AMIs。到目前为止，AMI已被广泛应用于许多领域，如识别飞机[8]，图像注册[9]等。尽管AMI方法计算量小，但随着矩阶数的增加，矩对噪声会变得越来越敏感[10]。因此，在矩方法中应该使用最低且可行的阶数[11]，但是，传统矩的阶数只能是非负整数，而2是用传统方法构建AMI的最小阶数，导致实际中只有低阶矩构造的AMI可用，进而限制了其对大型数据库的对象进行分类的能力[12]。为了解决这个问题，有人提出了一些新的方法。Z.Yang和F.Gohen[13]提出了交叉加权矩（CWM）。E.Rahtu，M.Salo和J.Heikkila [14]开发了一种称为多尺度自动卷积（MSA）的方法。这些方法可以实现分类高精度，但它们通常十分复杂而且计算需求高。

总而言之，AMI方法和一些新方法都有各自的优点和局限性。为寻求更好的方法，我们想到是否可以使用阶数低于2的矩来提取仿射不变量。通常使用一阶矩来定义质心，图像的中心通常放在质心上以实现平移不变性，因此一阶矩并不能用来提取仿射不变量。本文考虑是否可以用零阶矩来提取仿射不变量。

在笛卡尔坐标系下，传统零阶矩通常被视为图像的质量[3]，并且传统零阶矩通常用来规范化其它量来实现不变性，这些已有结论对于用零阶矩提取仿射不变特征并没有帮助。所以我们从另外一个角度研究了传统零阶矩，在本文中，我们在极坐标系下研究了传统零阶矩，注意到，传统零阶矩在极坐标下可以看作是由闭合曲线包围区域的面积。本文对这一特性将传统零阶矩进行推广，提出广义零阶矩。广义零阶矩被定义为含有两个参数的闭合曲线所围区域的面积，只要参数满足所需条件，即可获得仿射不变的广义零阶矩。然后我们对一些二值图像（汉字）和灰度图像进行实验，以测试所提广义零阶矩的仿射不变性和抗噪性。实验结果表明，使用广义零阶矩提取的仿射不变量比使用传统矩构造的不变量具有更强的抗噪性和分类能力。

本文的其余部分安排：在第2节，我们引入了广义零阶矩的定义。在第3节中，给出了广义零阶矩参数需满足的条件，使得它是仿射不变的，并提出了广义零阶矩的仿射不变量。在第4节中，我们给出实验结果，验证广义零阶矩所提取的仿射不变量的性能。在第5节中，得出结论。

2 广义零阶矩介绍

2.1 传统矩

传统矩的定义为[3]:

其中p和q是整数，p q是传统矩的阶数。如果图像的灰度被视为质量密度，则矩可以提供一些全局形状描述[3]。以质心为中心定义图像的中心矩

其中

是零阶矩，在本文中称之为传统零阶矩。由于低阶矩对噪声更稳定且易于计算，因此传统零阶矩经常用于规范化其它量以实现不变性[3]。模式识别中常用以下三个量（我们将这些量分别表示为AMI1，AMI2和AMI3）进行模式分类[6]。

注意到，传统零阶矩仅能用作规范化因子，使得上面定义的量是仿射不变的，用于计算质心的一阶矩和来实现平移不变性。此外，用于构建AMI的最小次数为2，例如，构建AMI1的矩为，，，它们的阶数都是2。文[10]中指出高阶矩对噪声敏感，为此需用低阶矩来构造不变量。Flusser和Suk[6.3.7]提供的方法可以用任意阶矩构造仿射不变量，但是，无法在阶数低于2的情况下构建仿射不变量，而传统零阶矩只能用于规范化其它量以实现不变性。因此我们想到是否可以改造传统零阶矩的定义，得到一种用较低阶的矩来构建仿射不变量的方法。在下面的小节中，我们将传统零阶矩推广到广义零阶矩，以便直接用于构造仿射不变量。

2.2 广义零阶矩

为了推广传统零阶矩，需理清传统零阶矩的含义。注意到，传统零阶矩在笛卡尔坐标系下通常被视为图像的质量，且只能用来规范化其它量来实现不变形，这种观点对于构建具有较低阶矩的仿射不变量没有帮助。因此我们必须从不同的角度对传统零阶矩进行研究。传统零阶矩通常在笛卡尔坐标系中定义，这里考虑在极坐标系中研究零阶矩。笛卡尔坐标系与极坐标系的变换关系为：