几类偏微分方程的显式径向对称解-毕业论文网

论文总字数：10048字

目录

摘要.........................................................3

概述..................................................5
调和函数及p-Laplace方程

1.1径向对称解...............................................7

1.2调和函数..................................................7

1.3 半线性椭圆方程...........................................9

1.4 本章小结................................................12

第三章 Monge-Ampere方程和k-Hessian方程......................13

2.1 Monge-Ampere方程.....................................13

2.2 k-Hessian方程..........................................15

2.3 k-容许.................................................16

3.4 本章小结...............................................20

参考文献.....................................................22

致谢.........................................................23

几类偏微分方程的显式径向对称解

张玮

, China

Abstract:In this paper, we study the radial symmetric solutions of several partial differential equations in full space. This paper mainly focuses on several important nonlinear elliptic equations. For example, the infinite Laplace equation, p-Laplace equation, minimum surface equation, Monge-Ampere equation,k-admissible and k-Hessian equation. Some definitions and meanings of these equations are given, and some practical problems are solved by using these definitions and meanings. The first chapter of this article explains the extent of use radial symmetry and its implications in the academic world. The second chapter enumerates the definition of harmonic functions used in this paper, namely radial symmetry, and calculates the radial symmetry solution of a special type of p-Laplace equation. The third chapter lists the definitions of the Monge-Ampere equation, the k-admissibility, the k-Hessian equation, and the special non-linear elliptic equation. We solve some radial symmetric solutions of the Monge-Ampere equation, and the k-Hessian equation. But these are just a few examples, and radial symmetry is a more common and convenient application in actual academic research.

Keywords:radial symmetry solution,, harmonic function, Monge-Ampere equation, k-admissible k-Hessian equation, elliptic equations.

第一章概述

随着现代物理、生物、数学等学科的迅速发展，在研究过程中产生了大量的线性和非线性椭圆型偏微分方程和方程组。在其中，许多物理现象和几何问题都可以用一个或者一组线性或者是非线性椭圆型偏微分方程来描述，例如在天体物理学中的lane-Emden方程，Euler-poission方程的平衡态，还有在量子力学中的schrodinger方程。同样，数学中的调和函数，p-Laplace方程，Monge-Ampere方程和k-Hessian方程等研究这些方程的解的存在性对于科学发展同样有着重要的意义。比如运用Monge-Ampere方程解的存在性可以判断出来微分几何中是否存在着高斯曲率为常数的曲面，另外，研究生物学中的非线性椭圆型方程解的存在性也可以认识几类物种共存的问题。学者们研究了很多关于线性，非线性，半线性方程组的径向对称解问题。在本文中，我们也研究了几类具有特殊性的线性和非线性椭圆型方程组，从而可以通过这些特殊方程推导出一般方程的径向对称解。

一方面，径向对称性是椭圆方程及方程组正解的一个重要的性质；另一方面，椭圆方程解的存在性一直以来都受到很多数学家的广泛关注。而径向对称解除了有线性径向对称解，非线性径向对称解之外，还有半线性径向对称解，但本文着重研究的是线性径向对称解（第二章）及非线性径向对称解（第三章）。对于半线性径向对称解，就是运用极小极大定理分别得到一类合作椭圆系统在光滑有界区域上解的存在性。运用Morse定理得到一类缺乏紧性的渐近线性非合作椭圆系统在光滑有界区域上解的存在性。由于将光滑有界区域拓展到无界区域上，研究椭圆系统解的性质相当困难。因而讨论合作椭圆系统在无界区域上解的性质的工作较为少见。

经过对Laplace方程时的径向对称解的求解，我们得出了调和函数的定义。另外，我们在第二章中定义了单位球面面积上Laplace方程的基本解，并通过讨论x=0为奇点和x=0不为奇点两种不同情况下的解，可以得出其两个派生根，并得知其中一个派生根在原点附近是可积分的，另外一个派生根在原点附近不可积分，由此得出该方程的可规范化形式。因此得出，（m为常数）和（其中p为正常数）时的三种不同情况下的径向对称解定理及其证明。在第二章中可以见到详细过程。

除了第二章中所讲的线性Laplace方程外，还有一种完全非线性的偏微分方程，那就是Monge-Ampere方程。同样，我们也在单位球面上讨论Monge-Ampere方程的径向对称解。为了更好地讨论该方程的径向对称解，我们首先要定义出完全非线性椭圆方程Dirichlet的边界值，并通过有界区域将该结论推广到无界区域上。

第三章给出了偏微分椭圆型算子的定义，并详细推导了计算过程。也讨论了完全非线性方程组在一个特殊情况下的实椭圆型Monge-Ampere方程组，通过该方程组的解，推论出一类函数严格凸解的正解。第三章中除了讨论了Monge-Ampere方程之外，我们也研究了k-Hessian方程。在研究k-Hessian方程时，我们首先给出了在光滑有界区域里，k-Hessian方程的定义。在证明过程中，我们求出了Hessian矩阵的特征值及其k阶初等对称多项式，并推理出k=1时，k-Hessian方程就是Poisson方程；k=n时，n-Hessian方程就是Monge-Ampere方程。另外，我们通过讨论二阶偏微分方程完全非线性的情况、正定和半正定的情况，来确定F关于解u是椭圆的还是退化椭圆的。为了更好地去了解、研究k-Hessian函数，我们给出了k-容许的定义，并称如果u是k-容许的，则k-Hessian算子是（退化）椭圆的。在第三章中该定义给出了详细的证明过程。通过以上的定义和推论的铺垫，我们给出（Monge-Ampere方程）和（k-Hessian方程）径向对称解的定理及证明过程。