二分法求解非线性方程及应用

论文总字数：5744字

摘 要

关键词:非线性方程,二分法

Abstract: Dichotomy is one of the most simple and intuitive methods to solve nonlinear equations. We can learn the problem-solving skills through two examples from this paper. Meanwhile, in the final article, we will explore the dichotomy from the basic idea. So, we can make the problem-solving skills more flexible.

Keywords: nonlinear equations,dichotomy

目 录

0 引言…………………………………………………………………………4

1 非线性方程的概念…………………………………………………………4

2 二分法求解非线性方程的解………………………………………………4

2.1 二分法的概念……………………………………………………………4

2.2 二分法的算法思想………………………………………………………5

2.3 二分法的具体解题步骤…………………………………………………6

2.4 二分法求解非线性方程的解……………………………………………7

3 二分法求解非线性方程的解的其它应用…………………………………9

3.1 二分法求解无理数的近似值……………………………………………9

3.2 二分法求解多项式的零点………………………………………………10

结论……………………………………………………………………………12

参考文献………………………………………………………………………13

致谢……………………………………………………………………………14

0 引言

我们知道在工程设计和科学研究中，经常会遇到求解非线性方程，其中为非线性函数.二分法是求解非线性方程的解的重要方法之一,非线性方程也是贯穿线性代数数学活动始末的重要概念,二分法在研究数学问题中有着举足轻重的作用.本文通过典型的例子加以具体阐述二分法在求解非线性方程的解和在其它数学问题中的应用.

1 非线性方程的概念

非线性方程是近年来备受科学工作者和科学技术人员关注的科学,求非线性数学问题(包括常微分,偏微分值得问题,积分方程,微积分方程等),而上述的问题都会归结为求非线性方程的解.所谓非线性方程,就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系,这类方程很多,例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等.这些方程可分为两类,一种是多项式方程,一种是非多项式方程.

在非线性方程的求解过程中,若干非线性方程可以分解成,其中为正整数且,则称为函数的重零点,或称为方程的重根.当时称为单根,当时称它为重根.若存在阶导数,则是方程的重根当且仅当.

当为多项式时,称方程为代数方程.当中含有三角函数或指数函数或是其它超越函数时,称方程为超越方程.

例如,方程:,.

前者是一个8次代数方程,后者是一个超越方程.这些方程看似简单,但不易求其准确度解.所以研究一元非线性方程的近似根的求解方法具有重要的实际意义.

2 二分法求解非线性方程的解

2.1 二分法的概念

二分法又被称为对分法,是区间迭代法的一种,它是重复运用根的存在性定理,每次将区间压缩一半且其中一个区间至少包含一个根,逐步缩短区间,直至最终区间长度满足一定的精度要求为止.是求解方程近似解的方法中最简单直观的方法之一.

2.2 二分法的算法思想

设在区间上连续,且,根据连续函数的性质可知,在内必有实根.称区间为有根区间.而求出非线性方程的有根区间也是利用二分法求解非线性方程的解的重要步骤之一.

通常我们可以通过逐次搜索法求得非线性方程的有根区间,例如:

例1 求方程的有根区间.

解 根据有根区间定义,对的根进行搜索计算,结果如下表1:

表1

由上表可知方程的有根区间为,,.

为明确起见,不妨假定方程在内有惟一的实根.

二分法的基本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可以求出满足精度要求的近似根.

即用二分法求解非线性方程的零点的近似值的步骤可基本归纳为:

① 确定区间,验证，给定精确度;

② 求区间的中点;

③ 计算;

若,则c就是函数的零点;

若 ,则令 （此时零点）;

若,则令 （此时零点）.

④ 判断是否达到精确度.

即若,则得到零点零点值为（或）;否则重复步骤2-4.

利用二分法求解方程近似值的过程,可以用流程图表示如下图1:

图1

2.3 二分法的具体解题步骤

(1) 把区间二等分,分点为.

如果,则有实根,此时可以结束计算.否则,或者与异号,或是与异号.

若,则,取;否则,取.

无论何种情况,总可以得到一个新的区间,其长度为原有区间的一半.如图2所示:

图2

(2) 在上重复上述二分步骤,得小区间中点,如果,又可类似地得到有

根区间,其长度是的二分之一.

(3) 如次反复下去,若不出现,则可得一系列有根区间

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