论文总字数：28938字

摘 要

回顾人工神经网络的研究历史，可以发现每一种模型的提出都离不开数学理论的支持。最近，复杂网络领域的研究日益增多，自从小世界网络理论提出后，人们逐渐发现人际关系网络等真实世界网络中都存在小世界现象，生物神经网络的研究也表明动物（包括人类）的大脑在其结构和工作方式上都近似于小世界网络模型。那么能否借鉴小世界网络，构造一个能够拥有良好性能的人工神经网络呢？本文借鉴了小世界网络模型的构造方法，设计了层与层之间存在随机边的人工神经网络模型，并从图论的角度对该网络的性能进行了分析。

本文的主要研究工作为，基于NW小世界网络模型构造了在层与层之间随机随机生成稀疏连接（即层与层间非全连接）的边的神经网络模型SW-ANN，该网络模型是规则网络到随机网络的过渡，满足小世界网络特征。并将该网络模型用于函数逼近，从图论角度选取网络的平均距离和神经元出度两个方向分析了网络的性能。

关键词：图论；人工神经网络；小世界网络；随机边

Abstract

Reviewing the research history of artificial neural networks, we can find that the introduction of each model is inseparable from one specific mathematical theory. Recently, researches in complex networks has been increasing. Since small-world network theory has been proposed, people have gradually discovered that there are small world phenomena in real-world networks such as interpersonal networks. The research of biological neural network also shows that the animal brain has many features of a small world network in both structural and functional way. Can we construct an artificial neural network, which is based on small world network with good performances? This paper designs an artificial neural network model on the basis of small-world network model, with random edges between layers, and analyzes the performances of this network from the perspective of graph theory.

The main research work of this paper is to construct an artificial neural network model with random edges and sparse connections between adjacent layers based on the NW small-world network model. This network model is a conversion from regular network to random network, which satisfies the characteristics of small-world network. Finally this network model will be used for function approximation, and the performances of the network is analyzed from the perspective of graph theory, which selects the average distance of the network and the output degree of neuron.

KEY WORDS: graph theory; artificial neural network; small-world network; random edge

目 录

摘 要 1

第一章 绪论 1

1.1研究背景与意义 1

1.2 国内外研究现状 2

1.2.1图论与复杂网络 2

1.2.2图的基本概念和矩阵表示 3

1.2.3复杂网络性质 3

1.2.4复杂网络模型演变 5

1.3研究工作与重点 6

1.4论文结构 7

第二章 小世界网络在人工神经网络中的应用 8

2.1小世界网络 8

2.1.1 W-S小世界网络模型 8

2.1.2 N-W小世界网络模型 9

2.2人工神经网络与深度学习 10

2.2.1 M-P模型 10

2.2.2多层感知器模型 11

2.2.4 Hopfield神经网络 12

2.3 小世界网络与人工神经网络的结合 14

2.3.1 SW-FFANN网络 14

2.3.2 SW-CNN网络 16

2.4本章小结 17

第三章 基于小世界模型的人工神经网络模型研究 18

3.1问题分析与解决方案 18

3.2 SW-ANN模型 18

3.2.1 SW-ANN的设计思想 18

3.2.2 SW-ANN的构造方法 20

3.3网络性能测试方案 20

3.4平均距离对网络性能影响的研究 21

3.4.1实验设计 21

3.4.2网络参数设置和实验环境 21

3.4.3确定边界标准差 22

3.4.4实验网络结构设计 23

3.4.5平均距离对网络性能影响的分析 23

3.5节点出度对网络性能影的研究 25

3.5.1实验设计 25

3.5.2网络参数设置和实验环境 25

3.5.3确定不同度网络的平均标准差 25

3.5.4实验网络结构设计 26

3.5.5度分布对网络性能影响的分析 27

3.6 本章小结 29

第四章 总结与展望 30

参考文献 31

第一章 绪论

1.1研究背景与意义

现代社会中的许多实体的结构及设计，都可以使用图论的方式来描述并分析，比如互联网，交通网络，通讯网络，大规模集成电路，分子结构等等。社会生活中也存在着多种多样的网络，比如人与人之间的社交关系，路由器的连接网络等，想要系统化地解决生活中的这些问题，就需要从数学的角度将这些图或网络恰当地描述出来，然后再寻找合适的方式对问题进行建模，最终找到最优算法加以解决。

图论是研究图和网路的数学分支，该理论将集合元素的二元关系表示为顶点和边组成的数学结构，从而研究结点的各种性质，包括连通性，路径分布，匹配，覆盖，平面，染色，网络流等。图论的分支包括结构图伦，极值图论，代数图论和拓扑图论。自20世纪50年代开始，由于冯·诺依曼结构的提出，计算机体系结构得到了飞速发展，这也加速了图论向各个领域的渗透，尤其是网络理论的建立，图论与线性规划，动态规划等优化理论相结合，为网络理论的研究提供了数学基础。

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