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目 录

第一章 绪论 3

1.1课题背景 3

1.2 LDPC码的发展 4

1.3 QC-LDPC码的定义 5

1.3.1线性分组码 5

1.3.2 低密度奇偶校验分组码 5

1.3.3 生成矩阵和校验矩阵 7

第二章LDPC码的基本原理 9

2.1有限域的基本概念 9

2.1.1群 9

2.1.2有限域 9

2.1.3有限域扩展 9

2.1.4构造GF(2^m)域 10

2.2 LDPC码的基本概念 11

第三章QC-LDPC码的构造 12

3.1 引言 12

3.2 QC-LDPC码的特点 12

3.3 QC-LDPC码的构造 13

第四章 多进制QC-LDPC码的构造 15

4.1 以循环群为基础的构造方法 15

4.2基于PEG算法的构造方法 17

第五章QC-LDPC码的仿真与分析 18

5.1 二进制QC-LDPC码的研究与仿真 18

5.2 多进制QC-LDPC码的研究与仿真 19

总结与展望 23

参考文献 24

致谢 25

附录 26

准循环低密度奇偶校验码的研究与仿真

钱巧云

China

Abstract: Low-density parity-check codes are a class of linear block codes which approach Shannon limit．With the development of LDPC encoder／decoder design and research，Quasi-cyclic(QC)LDPC codes are widely studied for their comparable performance and hardware—friendly characteristic．This thesis first introduces the principles of finite field LDPC codes，and then focuses on the construction of non-structured codes and the design of LDPC decoder．The main work includes：1)Modified progressive edge growth(PEG)algorithm is studied to construct non-structured codes with flexible structure parameters．The simulation results show that the performance of non-structured codes is comparable with that of non．structured LDPC constructed by PEG algorithm over AWGN channel．2)Nonbinary structured and non-structured LDPC codes are constructed by PEG algorithm．Their performance is compared with that of binary LDPC codes with same coding rates over AWGN channel by BPSK modulation and 8PSK modulation．The performance and decoding complexity Of nonbinary LDPC codes are analyzed，respectively．

Key words: QC—LDPC Codes，Finite Field，Nonbinary LDPC Codes ，PEG Algorithms

第一章 绪论

1.1课题背景

QC-LDPC是可以用稀疏的校验矩阵或二分图定义的线性分组纠错码,哥拉格是最先发现它的人,所以也被叫做Gallager码。这个理论在被忽视了好多年后,在人类大大提高了计算机能力和迅速发展了相关理论后,MacKay和Neal又一次给它带来新的生命,并且发现了准循环低密度奇偶校验码具备相当优良的特性:即逼近香农限的特性，甚至Turbo的性能也比它差,它的灵活性很大，差错平底特性(error floors)也很低;可以很容易对它进行刻画,它能够对要求严格的理论分析进行验证，且turbo码的译码复杂度要明显比它高,除此之外它还能够实现100%的并行操作,且具有较低的硬件复杂度,所以应用中硬件实现比较容易;还有就是它具有较可观的吞吐量,具备快速译码的能力有很大的提升空间。这几年因为LDPC码良好的性能、形式的简洁及巨大的发展空间逐渐受到广泛的关注,它已经能够应用在广泛的领域。MacKay和Neal通过研究得出将LDPC码在和基于BP(置信迭代)的迭代解码相结合可以实现对香农限的逼近。因为对LDPC码的重新研究，纠错编码领域在Turbo码之后有了一次新的飞跃。

与Turbo码相似,低密度奇偶校验码对通信的容量极限的逼近也是使用迭代的方法。然而这种编码和Turbo码也有很多不一样的地方。现今我们己经能够构造出LDPC,它的性能比Turbo码有着更多的优点,并且也与香农极限有了更小的距离。事实上我们如今能够构造出许多编解码方案和Turbo码相抗衡。LDPC使用了和Turbo码相同的基本概念,然而这种编码在分析上显得更占优势。另外一条我们选择它的原因是我们可以免费使用它。

通信理论中的热点问题一直是以信道编码为核心内容的前向差错控制。虽然卷积码和Turbo码在第二，三代移动通信系统中实现成功,然而对于卷积码和Turbo在第四代移动通信系统中卷积码对数据通信有较低的可靠性且Turbo码的译码算法的高复杂度降低了处理速度。低密度码由此开始进入人们的视野。很早之前,哥拉格在研究纠错编码的过程中提出了LDPC码的可行性和优良的特性,然而因为当时硬件的发展水平不够高,一直到30多年后由于集成电路的广泛应用它才真正的进入人们的视野。跟Turbo码相同,LDPC码的性能同样具有近香农限性,而且它的全并行迭代译码器的复杂度和码长成线性关系,它的吞吐量比Turbo码高出好几十倍。虽然其他编码方法与LDPC码相比在高斯信道上较低,但由于LDPC体现逼近香农限的性能必须具有相对长的码长,较长的码长使得实现硬件非常困难,就算是使用现在的超大规模集成电路也难以对较长码长的LDPC码的编码和解码进行直接实现,硬件的复杂度使得LDPC码良好的性能很难在现实应用中实现应用。因此人们更多的开始关注怎样构造LDPC码以及对LDPC码,的性能进行改善，让它对于超大规模集成电路的实现有着更好的适应性,而QC-LDPC码的提出,让LDPC码在硬件实现上有了更多可能可行的解决办法。QC一LDPC码同时具有结构性与随机性两个特点,在保证了低密度奇偶校验码的信道性能保持不变后,也对编码和译码电路进行了很大程度的简单化提高了硬件可实现性,现在越来越多的人开始关注和研究LDPC码研究和使用。

一个线性分组码(n，k)表示将k个码元分成一组通过编码器生成一个含有n个码元的码字。假设码元在GF(q)域上取值，那么个n维数组组成一个GF(q)域上的n维线性空间，如果其中n个码字组成一个k维线性子空间，那么这个码字就是线性分组码。

编码，信道及译码是数字通信系统的三部分。编码部分主要有信源、信道编码过程，信道部分有调制、噪声信道和解调过程，译码部分有信源、信道解码过程。

信源s有连续波形和离散的符号序列两种，信源编码器把s转换成二进制的信息序列U。而对于连续信源，这个过程还包括模数转换过程。以下两个条件是信源编码器的设计目标：(1)用于表示信源输出所要求的比特数应最低；

(2)信源s能够从信息序列u中确切的重现。

码字是信道编码器将信息序列U转换成离散的编码序列c。离散的符号不适于在物理信道上传输。信道输出的每个符号都被调制器转换成持续时间为T秒的适于传输的波形。

适于传输的波形进入信道且有噪声的干扰。系统在进行仿真时，通常用二进制对称输入的离散无记忆信道(Discrete Memoriless Channel，DMC)对信道编码增益进行考查。它主要含三类：二进制可擦除信道(binary erasure channel，BEC)，二进制对称信道(binary symmetric channel，BSC)和二进制输入的加性高斯信道(binary input additive white gaussian noise channel，BIAWGN)。

接收端，解调器对码元进行直接判决或者把表示码元可靠性的软消息输出，解码器进行与之相对应的硬判决译码或软判决译码。

1.2 LDPC码的发展

Gallager通过对稀疏校验矩阵的研究最先做出了对LDPC码的说明。因为码字构造方案在那个时代还是零散的，不成整体的，复杂的编译码也需要较高的硬件水平，因此，三十年之后，这一发现才重新受到人们重视。在这之后，Tanner提出了引用二分图模型，由此LDPC码的解释更加形象也被更多的人认同。在这基础上，Wiberg对译码算法进行了很大程度的简化，和积(Sum-Product，SP)算法和最小和(Min-Sum)算法。这项工作有着相似的命运，人们又是在很长时间之后才开始对它重视，在即将进入二十世纪时，研究人员对图编码和迭代译码问题才开始深入的思考和研究，有关研究人员提出，在置信传播(Belief Propagation，BP)迭代译码基础上的长LDPC码可以得到离香农限零点几分贝的误码性能，因为这个原因，低密度奇偶检验码又一次进入人们的视野且越来越多的人开始关注它，了解它。因为要想完成低密度奇偶校验码的硬件工作很不简单，最近，一种准循环(Quasi-Cyclic，QC)结构的LDPC码进入人们的研究视野。经过研究发现QC-LDPC的性能与随机生成的LDPC码有着许多相似的良好性能，在特定情况下可能性能更好。适合硬件实现是QC-LDPC最大的一个优点，无需利用很复杂的移位寄存器(shift-registers)就能够对它的编码过程进行完成，因此在进行随机码校验矩阵向量相乘是可以简化电路的设计问题。相同的，也可以简化译码过程中的随机码路由，译码延迟的问题也大大减少，从而也更方便对他进行高速译码。根据译码并行度对译码器进行分类，译码器在结构上大体可以分为三类，串行结构，并行结构和部分并行结构。串行结构具有复杂度低和吞吐量不高的特点；相反，完全并行结构有着吞吐量比较高的特性，它的实现对与硬件要求很高，因此它是一种理想结构，并不易于实现；而部分并行结构能实现对复杂度和吞吐量的折中，因此部分并行结构得到了更多的关注和应用。

多进制LDPC码的良好性能早在上世纪末就被Davey和Mackay发现，但是因为多进制LDPC较高的译码复杂度，与之相关研究鲜有突破性成绩。但最近，因为新的译码算法的应用人们对于多进制译码算法的理论研究也有了质的胜利。

1.3 QC-LDPC码的定义

1.3.1线性分组码

信息序列以k个码元分组称为分组码,然后利用编码器把每组的点元信息按特定的规律成生m个冗余的码元,即长为n=k m的一个码字被输出。所以,每一码字的m个校验元只和该组的信息元有关而不与其它组的有关。分组码用(n,k)表示,n表示码的长度,有效信息位数目用k表示,r=k/n即为码率。只要(n,k)分组码的信息元与监督元之间成线性关系,即描述它能用一个线性方程,则称之为线性分组码。线性分组码是分组码中很少的一部分。但是,在所有分组码中，却只有线性分组码有相当大的实际应用性。线性分组码是所有纠错码中原理最简单应用最广泛的一类码,它更容易被接受效力也相对较高,除此之外，线性分组码还可以灵活地引出各类编码中很广的那类基本参数及名称。所以,讨论其他各类码都将基于线性分组码。

1.3.2 低密度奇偶校验分组码

低密度奇偶校验分组码（Low-density parity-check block code,LDPC-BC),是线性分组码（Linear block code)的一种，我们用它检测并且将信息在信道中发生错误的编码方式纠正过来。1962年，低密度奇偶校验分组码由Gallager首次提出。就读于麻省理工学院的他，在其博士论文中证明LDPC-BC的纠错能力非常接近理论值香农极限（Shannon limit);不过受限于当时技术，LDPC-BC在接下来的20年里并没引起广大学着的注意，随后LDPC-BC被Tanner基于图理论重新发现。可惜Tanner的图理论又一次被大家忽视。直到上个世纪九十年代，得益于人们在集成电路上取得的巨大进步，在实际应用中已经能够对低密度奇偶分组码完成实现，当代多种走在前列的通讯系统的频道编码都以他为参考。

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